Газы, жидкости и твердые вещества

1.1. Уравнение состояния идеального газа (Менделеева — Клапейрона)

Описывает состояние идеального газа при постоянной массе:

$$P \cdot V = n \cdot R \cdot T$$

Или через массу и молярную массу ($n = \frac{m}{M}$):

$$P \cdot V = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T$$

• \(P\) — давление (\(\text{Па}\))
• \(V\) — объем (\(\text{м}^3\))
• \(n\) — количество вещества (\(\text{моль}\))
• \(R\) — универсальная газовая постоянная (\(8.314 \, \text{Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})\))
• \(T\) — абсолютная температура (\(\text{К}\))
• \(m\) — масса газа (\(\text{г}\) или \(\text{кг}\))
• \(M\) — молярная масса (\(\text{г/моль}\) или \(\text{кг/моль}\))

1.2. Плотность и молярная концентрация газа

Плотность газа при заданных \(P\) и \(T\):

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{P \cdot M}{R \cdot T}$$

Относительная плотность одного газа по другому (\(D\)):

$$D_{B}(A) = \frac{M(A)}{M(B)}$$

1.3. Изопроцессы (Частные случаи)

• Закон Бойля — Мариотта (\(T = \text{const}\), изотермический):

  $$P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \quad \implies \quad P \cdot V = \text{const}$$

• Закон Гей-Люссака (\(P = \text{const}\), изобарный):

  $$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \implies \quad \frac{V}{T} = \text{const}$$

• Закон Шарля (\(V = \text{const}\), изохорный):

  $$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \quad \implies \quad \frac{P}{T} = \text{const}$$

• Объединенный газовый закон (\(m = \text{const}\)):

  $$\frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2}$$

1.4. Закон Дальтона (Смеси газов)

Общее давление смеси нереагирующих газов равно сумме парциальных давлений:

$$P_{\text{общ}} = \sum_{i} P_i = P_1 + P_2 + \dots + P_n$$

Парциальное давление через мольную долю (\(\chi_i\)):

$$P_i = \chi_i \cdot P_{\text{общ}}, \quad \chi_i = \frac{n_i}{n_{\text{общ}}}$$

Средняя молярная масса газовой смеси:

$$\bar{M} = \sum (\chi_i \cdot M_i) = \frac{m_{\text{общ}}}{n_{\text{общ}}}$$

1.5. Реальные газы (Уравнение Ван-дер-Ваальса)

Учитывает собственный объем молекул и межмолекулярное притяжение:

$$\left( P + a \cdot \frac{n^2}{V^2} \right) (V - n \cdot b) = n \cdot R \cdot T$$

• \(a\) — поправка на межмолекулярное притяжение (внутреннее давление)
• \(b\) — поправка на собственный объем молекул газа

1.6. Закон эффузии и диффузии Грэма

Скорость истечения (диффузии) газов обратно пропорциональна квадратному корню из их молярных масс:

$$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$$

2.1. Давление насыщенного пара и уравнение Клаузиуса — Клапейрона

Зависимость давления насыщенного пара от температуры:

$$\ln \left( \frac{P_2}{P_1} \right) = - \frac{\Delta H_{\text{исп}}}{R} \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right)$$

• \(\Delta H_{\text{исп}}\) — мольная энтальпия испарения (\(\text{Дж/моль}\))

2.2. Законы Рауля (Разбавленные растворы нелетучих веществ)

Первый закон Рауля: Относительное понижение давления пара растворителя равно мольной доле растворенного вещества:

$$\frac{P^0 - P}{P^0} = \chi_{\text{вещ}} = \frac{n_{\text{вещ}}}{n_{\text{растворитель}} + n_{\text{вещ}}}$$

Второй закон Рауля (Эбулиоскопия и Криоскопия): Повышение температуры кипения и понижение температуры замерзания растворов:

$$\Delta T_{\text{кип}} = i \cdot E \cdot C_m$$

$$\Delta T_{\text{зам}} = i \cdot K \cdot C_m$$

• \(E\), \(K\) — эбулиоскопическая и криоскопическая константы растворителя
• \(C_m\) — моляльная концентрация (\(\text{моль/кг растворителя}\))
• \(i\) — изотонический коэффициент Вант-Гоффа (\(i = 1 + \alpha(N - 1)\))

2.3. Осмотическое давление (Закон Вант-Гоффа)

Давление, необходимое для предотвращения осмоса:

$$\pi = i \cdot C_{\text{M}} \cdot R \cdot T$$

• \(C_{\text{M}}\) — молярная концентрация (\(\text{моль/л}\) или \(\text{моль/м}^3\))

2.4. Закон Генри (Растворимость газов в жидкостях)

Концентрация растворенного газа при постоянной температуре пропорциональна его парциальному давлению над жидкостью:

$$C = k_{\text{H}} \cdot P$$

• \(k_{\text{H}}\) — константа Генри

2.5. Поверхностное натяжение и капиллярное поднятие

Поверхностная энергия и формула Лапласа:

$$\gamma = \frac{F}{l} = \frac{\Delta W}{\Delta A}$$

Высота капиллярного подъема жидкости (формула Жюрена):

$$h = \frac{2 \cdot \gamma \cdot \cos\theta}{\rho \cdot g \cdot r}$$

3.1. Закон Вульфа — Брэгга (Дифракция X-лучей)

Условие интерференционного максимума отражения рентгеновских лучей от кристаллографических плоскостей:

$$2 \cdot d \cdot \sin\theta = n \cdot \lambda$$

• \(d\) — межплоскостное расстояние в кристалле
• \(\theta\) — угол скольжения (угол Брэгга)
• \(n\) — порядок отражения (целое число: 1, 2, 3...)
• \(\lambda\) — длина волны рентгеновского излучения

3.2. Плотность кристаллического вещества

Расчет теоретической плотности кристалла по параметрам элементарной ячейки:

$$\rho = \frac{Z \cdot M}{N_{\text{A}} \cdot V_{\text{ячейки}}}$$

• \(Z\) — число формульных единиц в элементарной ячейке
• \(M\) — молярная масса (\(\text{г/моль}\))
• \(N_{\text{A}}\) — число Авогадро (\(6.022 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1}\))
• \(V_{\text{ячейки}}\) — объем элементарной ячейки (\(\text{см}^3\))

3.3. Коэффициент упаковки кристалла (Atomic Packing Factor, APF)

Доля объема элементарной ячейки, занятая атомами/ионами (принимаемыми за сферы):

$$\text{APF} = \frac{V_{\text{атомов}}}{V_{\text{ячейки}}} = \frac{Z \cdot \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)}{V_{\text{ячейки}}}$$

• Объемно-центрированная кубическая ячейка (ОЦК): \(\text{APF} \approx 0.68\)
• Гранецентрированная кубическая ячейка (ГЦК): \(\text{APF} \approx 0.74\)
• Гексагональная плотноупакованная (ГПУ): \(\text{APF} \approx 0.74\)

3.4. Энергия кристаллической решетки (Формула Борна — Ланде)

Оценка энергии гипотетического образования ионного кристалла из газообразных ионов:

$$U_0 = - \frac{N_{\text{A}} \cdot M \cdot |z_+ z_-| \cdot e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r_0} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$$

• \(M\) — константа Маделунга
• \(z_+, z_-\) — заряды ионов в единицах элементарного заряда
• \(e\) — элементарный заряд (\(1.602 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\))
• \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная
• \(r_0\) — кратчайшее расстояние между центрами ионов
• \(n\) — показатель Борна (учитывает силы отталкивания)

3.5. Законы фазовых превращений и правило фаз Гиббса

Число степеней свободы системы (\(F\)), находящейся в гетерогенном равновесии:

$$F = C - P + 2$$

• \(C\) — число независимых компонентов системы
• \(P\) — число фаз, находящихся в равновесии
• \(2\) — количество внешних параметров (давление и температура)

Уравнение Клапейрона — Клаузиуса для фазового перехода 1-го рода (плавление, испарение, сублимация):

$$\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{\text{ф.п.}}}{T \cdot \Delta V}$$