Указания к составлению уравнений по тексту задачи

Как составлять уравнения по условию задач. Готовые схемы и рекомендации для точного решения задач без воды.

Задачи с помощью уравнения или системы уравнений

Решение таких задач обычно производят в такой последовательности:

  1. вводят переменные, т.е. обозначают буквами \(x, y, t, u, …\) величины, которые требуется найти по условию задачи, либо те, которые необходимы для отыскания искомых величин;
  2. используя введенные переменные, а также указанные в условии задачи конкретные значения переменных и соотношения между ними, составляют уравнение (систему уравнений), т.е. как бы "переводят" текст задачи на язык алгебры, формируя равенство (систему равенств) алгебраических выражений;
  3. решают составленное уравнение (систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

Задачи о соотношениях между натуральными числами

При решениях этого типа задач используют следующие утверждения:

  1. если к натуральному числу \(x\) приписать справа \(n\)-значное число \(y\), то получится число \(10^{n}x+y\);
  2. если \(a\) и \(b\) – натуральные числа, \(a > b\) и \(a\) не кратно \(b\), то существует единственная пара натуральных чисел \(q\) и \(r\) таких, что \(a=bq+r\), где: \(r < b\).

Задачи на движение

При решении задач на движение принимают такие допущения:

  1. движение считается равномерным, т.е. происходящим с постоянной скоростью, если нет специальных оговорок;
  2. изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;
  3. постоянная скорость \(u\), с которой рассматриваемый объект двигался бы по стоячей (неподвижной) воде, называется его собственной скоростью. Если движение происходит по реке, имеющей постоянную скорость \(v\) движения воды, то реальная скорость объекта по течению реки равна \(u+v\), а против течения она равна \(u-v\).

Задачи, связанные с равномерным движением

При составлении уравнений в задачах на равномерное движение пользуются формулами:

\[s=vt, \; v=\frac{s}{t}, \; t=\frac{s}{v},\]

где: \(t\) – время, \(v\) – скорость, \(s\) – пройденное расстояние.

Часто, приступая к решению таких задач, вводят систему координат \(tOs\), где по оси абсцисс (оси \(Ot\)) откладывают время (\(t\)), а по оси ординат (\(Os\)) – пройденное расстояние (\(s\)) (см.рис.). Тогда графиком зависимости \(s=vt\) является прямая \(AM\), составляющая с осью \(Ot\) острый угол \(α\), тангенс которого равен значению скорости \(v\).

N M P O A B s t C β α s=v∙t

Если по условию задачи одновременно с маршрутом из \(A\) в \(B\) начинается встречный маршрут из \(B\) в \(A\), то отсчет расстояния, пройденного от пункта \(B\) по направлению к точке \(O\), ведется от точки \(B\), отмеченной на той же оси \(Os\). Графиком встречного маршрута является прямая \(BN\), составляющая с прямой \(BM\), параллельной \(Ot\), острый угол \(β\), тангенс которого равен значению скорости \(v\) движения по этому маршруту. Координаты точки \(P\) пересечения графиков указывают время встречи и пройденные от \(A\) и от \(B\) расстояния до места встречи (соответственно \(AC\) и \(BC\)).

Задачи на выполнение объема работы

При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу

\[A=Wt,\]

где: \(A\) – количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто \(A\) принимают за единицу), \(t\) – время выполнения всего количества работы, \(W\) – производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за \(t_{1}\), а вторым – за \(t_{2}\) единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объема работы равна:

\[W=\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}, \quad t=\frac{1}{W}=\frac{t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}.\]

Задачи о смесях, сплавах и растворах

При решении такого типа задач используют следующие допущения:

  1. все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными;
  2. не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа).

Если смесь (сплав, раствор) имеет массу \(m\) и состоит из веществ \(A\), \(B\) и \(C\), массы которых соответственно \(m_{A}\), \(m_{B}\), \(m_{C}\), то величину \(\frac{m_{A}}{m}\) (соответственно \(\frac{m_{B}}{m}\), \(\frac{m_{C}}{m}\)) называют концентрацией вещества \(A\) (соответственно \(B\) и \(C\)) в смеси (сплаве, растворе), а величину \(\frac{m_{A}}{m}\cdot 100\%\) (соответственно \(\frac{m_{B}}{m}\cdot 100\%\), \(\frac{m_{C}}{m}\cdot 100\%\)) – процентным содержанием вещества \(A\) (соответственно \(B\), \(C\)) в смеси (сплаве, растворе). При этом выполняется равенство:

\[ \frac{m_{A}}{m}+\frac{m_{B}}{m}+\frac{m_{C}}{m}=1.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.