Формулы векторов на плоскости и в пространстве. Координаты, длина, скалярное произведение и действия над векторами без лишних слов.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- Расстояние между точками \(A_{1} (x_{1}; y_{1})\) и \(A_{2} (x_{2}; y_{2})\) находится
по формуле
\[A_{1}A_{2}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}.\]С помощью этой же формулы выражается длина отрезка \(A_{1}A_{2}\) или модуль вектора \(\overline{A_{1}A_{2}} \; \left(x_{2}-x_{1}; \; y_{2}-y_{1}\right)\).
- Координаты \( \left(х; у\right) \) середины отрезка с концами \(A_{1} (x_{1}; y_{1})\)
и \(A_{2} (x_{2}; y_{2})\) находятся по формулам
\[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \quad y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.\]
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид
\[y=kx+q.\]Угловой коэффициент \(k\) представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси \(Ox\), а начальная ордината \(q\) – значение ординаты точки пересечения прямой с осью \(Oy\).
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\), проходящей через точку
\(A(x_{0}; y_{0})\), имеет вид
\[y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right).\]
- Общее уравнение прямой имеет вид
\[ax+by+c=0.\]
- Уравнения прямых, параллельных соответственно осям \(Oy\) и \(Ox\), имеют вид
\[x=a,\\ y=b.\]
- Условия параллельности и перпендикулярности прямых \(y_{1}=k_{1}x+q_{1}\) и
\(y_{2}=k_{2}x+q_{2}\) соответственно имеют вид
\[k_{1}=k_{2},\] \[k_{1}k_{2}=-1.\]
- Уравнения окружностей с радиусом \(R\) и с центрами соответственно в точках
\(O(0; 0)\) и \(C (x_{0}; y_{0})\) имеют вид
\[x^{2}+y^{2}=R^{2},\] \[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2}.\]
- Уравнение \(y=ax^{2}+bx+c\) представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\).
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- Расстояние между точками \(A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})\) и \(A_{2}
(x_{2}; y_{2}; z_{2})\) находится по формуле
\[A_{1}A_{2}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+ \left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}.\]С помощью этой же формулы выражается длина отрезка \(A_{1}A_{2}\) или модуль вектора \(\overline{A_{1}A_{2}} \; \left(x_{2}-x_{1}; \; y_{2}-y_{1}; \; z_{2}-z_{1}\right)\).
- Координаты \((х; у; z)\) середины отрезка с концами \(A_{1} (x_{1}; y_{1};
z_{1})\) и \(A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})\) находятся по формулам
\[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \quad y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}, \quad z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}.\]
- Модуль вектора \(\overline{a}\;\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)\), заданного
своими координатами, находится по формуле
\[\left|\overline{a}\right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\]
- При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении
вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы
\[\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)+ \left(b_{1};\;b_{2};\;b_{3}\right)= \left(a_{1}+b_{1};\;a_{2}+b_{2};\;a_{3}+b_{3}\right),\] \[\lambda\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)=\left(\lambda a_{1};\;\lambda a_{2};\; \lambda a_{3}\right).\]
- Единичный вектор \(\overline{a}_{0}\), сонаправленный с вектором \(\overline{a}\),
находится по формуле
\[\overline{a}_{0}=\frac{\overline{a}}{\left|\overline{a}\right|}.\]
- Скалярным произведением \(\overline{a}\overline{b}\) векторов \(\overline{a}\)
и \(\overline{b}\) называется число
\[\overline{a}\overline{b}=\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos\varphi,\]где: \(\varphi\) – угол между векторами \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\).
- Скалярное произведение векторов \(\overline{a}\;\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)\)
и \(\overline{b}\;\left(b_{1};\;b_{2};\;b_{3}\right)\) выражается формулой
\[\overline{a}\overline{b}=a_{1}b_{1}+ a_{2}b_{2}+ a_{3}b_{3}.\]В частности, \(\overline{a}^2=\overline{a}\cdot \overline{a} = \left|\overline{a}\right|^{2}\), откуда \( \left|\overline{a}\right|= \sqrt{\overline{a}^{2}}\).
- Косинус угла между векторами \(\overline{a}\;\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)\) и
\(\overline{b}\;\left(b_{1};\;b_{2};\;b_{3}\right)\) находится по формуле
\[\cos\varphi=\frac{\overline{a}\overline{b}}{\left|\overline{a} \right|\left|\overline{b}\right|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}} {\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.\]
- Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов
\(\overline{a}\;\left(a_{1};\;a_{2};\;a_{3}\right)\) и \(\overline{b}\;
\left(b_{1};\;b_{2};\;b_{3}\right)\) имеет вид
\[\overline{a}\overline{b}=0,\] или \[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0,\]а условие их коллинеарности (параллельности) – вид\[\overline{a}=\lambda\overline{b},\] где: \[\left|\lambda\right|=\frac{\left|\overline{a}\right|}{\left|\overline{b}\right|},\] или \[\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}.\]
- Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
\(\overline{n}\;\left(a;\;b;\;c\right)\),
имеет вид
\[ax+by+cz+d=0.\]
- Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору \(\overline{n}\;
\left(a;\;b;\;c\right)\) и
проходящей через точку \((x_{0}; y_{0}; z_{0}) \), имеет вид
\[a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0.\]
- Уравнение сферы с центром \(O (0; 0; 0)\) записывается в виде
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.\]