Эти формулы сокращенного умножения подойдут для упрощения, разложения и тождественных преобразований алгебраических выражений.
Для любых \(a, b\) и \(c\) верны следующие равенства:
\[a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]
\[\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\]
\[\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\]
\[\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\]
\[\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab\left(a+b\right)\]
\[\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\]
\[\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab\left(a-b\right)\]
\[a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\]
\[a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\]
\[\begin{gathered}
ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right),\\
ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=0
\end{gathered}\]
\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\]
\[(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\]
\[(a-b)^2=(a+b)^2-4ab\]
\[a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\]
\[2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2\]
\[4ab=(a+b)^2-(a-b)^2\]
\[ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\]
\[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\]
\[(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]
\[a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\]
\[a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\]
\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\]
\[a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\]
\[2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\]
\[(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\]
\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\]
\[a^3+b^3+c^3-3abc=\frac12(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\]
\[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]
\[(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab\]
\[(x-a)(x+b)=x^2+(b-a)x-ab\]
\[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\]
\[(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc\]
\[bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)\]
\[a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)\]
\[a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(b-c)(c-a)(a-b)\]
\[a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)\]
\[b^2c^2(b^2-c^2)+c^2a^2(c^2-a^2)+a^2b^2(a^2-b^2)=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b)(b+c)(c+a)\]
\[(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)\]
\[(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)\]