Свойства степеней и арифметических корней используются для операций с показателями и радикалами.
Для любых \(x\) и \(y\) и любых положительных \(a\) и \(b\) верны следующие равенства:
\[\begin{gathered}
a^{0}=1\\
a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}\\
a^{x}:a^{y}=a^{x-y}\\
\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}\\
\left(ab\right)^{x}=a^{x}b^{x}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}\\
a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}
\end{gathered}\]
Для любых натуральных \(n\) и \(k\), больших 1, и любых неотрицательных \(a\) и \(b\) верны следующие равенства:
\[\begin{gathered}
\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\\
\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\\
\left(\sqrt[n]{a}\right)^{k}=\sqrt[n]{a^{k}}\\
\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\\
\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^{k}}\\
\left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}=a,\;\left(a\geq0\right)\\
\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b},\;\left(0 \leq a < b\right)\\
\sqrt{a^{2}}=|a|=
\begin{cases}
a, & a\geq0\\
-a, & a<0
\end{cases}\\
\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\\
\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a},\;\left(a\geq0\right)
\end{gathered}\]