Формулы арифметической и геометрической прогрессий и их свойства. Сумма n членов, n-й член и понятные формулы.
Арифметическая прогрессия
(\(a_{1}\) – первый член, \(d\) – разность, \(n\) – число членов, \(a_{n}\) – \(n\)-й член, \(S_{n}\) – сумма \(n\) первых членов):
\[a_{n}=a_{1}+d\left(n-1\right)\]
\[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\]
\[S_{n}=\frac{2a_{1}+d\left(n-1\right)}{2}\cdot n\]
\[a_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2},\;k=2,3,...,n-1\]
\[a_{k}+a_{m}=a_{p}+a_{q},\;k+m=p+q\]
Геометрическая прогрессия
(\(b_{1}\) – первый член, \(q\) – знаменатель \((q≠0)\), \(n\) – число членов, \(b_{n}\) – \(n\)-й член \((b_{n}≠0)\), \(S_{n}\) – сумма \(n\) первых членов):
\[b_{n}=b_{1}q^{n-1}\]
\[S_{n}=\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q},\;q\neq1\]
\[S_{n}=nb_{1},\;q=1\]
\[b_{k}^{2}=b_{k-1}\cdot b_{k+1},\;k=2,3,...,n-1\]
\[b_{k}\cdot b_{m}=b_{p}\cdot b_{q},\;k+m=p+q\]
Если \(\left| q\right|< 1\), то при неограниченном увеличении \(n \left( n \rightarrow \infty\right)\) сумма \(S_{n}\) стремится к числу \(\frac{b_{1}}{1-q}\)‚ которое называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и обозначают буквой \(S\):
\[S=\frac{b_{1}}{1-q}.\]