Формулы тригонометрии: двойного и половинного аргумента, сложения и приведения, преобразования суммы в произведение, соотношения функций и уравнения.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
\[\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\]
\[tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\;x\neq\frac{\pi}{2}\left(2n+1\right),\;n\in\mathbb{Z}\]
\[cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\;x\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[tan x\cdot\cot x=1,\;x\neq\frac{\pi n}{2},\;n\in\mathbb{Z}\]
\[1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x},\;x\neq\frac{\pi}{2}\left(2n+1\right),\;n\in\mathbb{Z}\]
\[1+\cot^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x},\;x\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы двойного аргумента
\[\sin2x=2\sin x\cos x\]
\[cos2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x\]
\[tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x},\;x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\;
k\in\mathbb{Z},\;x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы половинного аргумента
\[sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}\]
\[cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}\]
\[tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x},\;x\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z},\]
\[tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x},\;x\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы сложения
\[\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\]
\[sin\left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\]
\[cos\left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\]
\[cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\]
\[tan\left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot\tan y},
\;x,y,x+y\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[tan\left(x-y\right)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot\tan y},
\;x,y,x-y\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы преобразования суммы в произведение
\[\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\]
\[sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\]
\[cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\]
\[cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\]
\[tan x+\tan y=\frac{\sin\left(x+y\right)}{\cos x\cos y},\;x,y\neq\frac{\pi}
{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[tan x-\tan y=\frac{\sin\left(x-y\right)}{\cos x\cos y},\;x,y\neq\frac{\pi}
{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы преобразования произведения в сумму
\[\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x-y\right)-\cos\left(x+y\right)\right)\]
\[cos x\cos y=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x-y\right)+\cos\left(x+y\right)\right)\]
\[sin x\cos y=\frac{1}{2}\left(\sin\left(x-y\right)+\sin\left(x+y\right)\right)\]
Соотношения между \(sin(x), cos(x)\) и \(tan(x/2)\)
\[\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}},\;x\neq\left(2n+1\right)\pi,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\cos x=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}},\;x\neq\left(2n+1\right)\pi,\;n\in\mathbb{Z}\]
Формулы приведения
| \(x\) | \(\pi-\alpha\) | \(\pi+\alpha\) | \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) | \(\frac{\pi}{2}+\alpha\) | \(\frac{3\pi}{2}-\alpha\) | \(\frac{3\pi}{2}+\alpha\) |
| \(\sin x\) | \(\sin\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) |
| \(\cos x\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\sin\alpha\) |
| \(\tan x\) | \(-\tan\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(-\cot\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
| \(\cot x\) | \(-\cot\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(-\tan\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
Тригонометрические уравнения
\[\sin x=a,\;|a|\leq1,\;x=\left(-1\right)^{n}\arcsin a+\pi n,\;n\in\mathbb{\mathbb{Z}}\]
\[\cos x=a,\;|a|\leq1,\;x=\pm\arccos a+2\pi n,\;n\in\mathbb{\mathbb{Z}}\]
\[\tan x=a,\;-\infty< a< +\infty,\;x=\arctan a+\pi n,\;n\in\mathbb{\mathbb{Z}}\]
\[\cot x=a,\;-\infty< a< +\infty,\;x=\text{arccot } a+\pi n,\;n\in\mathbb{\mathbb{Z}}\]
\[\sin x=0,\;x=\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\sin x=1,\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\sin x=-1,\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\cos x=0,\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\cos x=1,\;x=2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\cos x=-1,\;x=\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\tan x=0,\;x=\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[\cot x=0,\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]