Соотношения между углами, ребрами и гранями призмы и пирамиды. Подходы к быстрому решению задач без воды.
- Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий:
а) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
б) длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр
окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
Пусть \(O\) – основание высоты \(n\)-угольной пирамиды \(SA_{1}A_{2}\;…\;A_{n}\)
(см. рис.); \(SA_{1}\), \(SA_{2}\), …, \(SA_{n}\) – ее боковые ребра; \(OA_{1}\),
\(OA_{2}\), …, \(OA_{n}\) – их проекции на плоскость основания; \(SA_{1}O\),
\(SA_{2}O\), …, \(SA_{n}O\) – углы, образуемые ребрами пирамиды с плоскостью основания.
Согласно условию а), эти углы равны; поэтому равны и прямоугольные треугольники \(SOA_{1}\),
\(SOA_{2}\), …, \(SOA_{n}\), имеющие общий катет \(SO\). Отсюда следует, что
\(OA_{1}=OA_{2}=\;…\;OA_{n}\), т.е. точка \(O\) равноудалена от вершин \(A_{1}\),
\(A_{2}\), …, \(A_{n}\) основания и, значит, является центром описанной
около него окружности.
Если условие а) заменить условием б), то равенство треугольников \(SOA_{1}\), \(SOA_{2}\), …, \(SOA_{n}\) вытекает из того, что они, кроме общего катета, имеют равные гипотенузы \(SA_{1}=SA_{2}=\;…\;SA_{n}\). Таким образом, \(OA_{1}=OA_{2}=\;…\; OA_{n}\), т.е. \(O\) – центр окружности, описанной около основания пирамиды.
- Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все боковые грани
образуют с основанием равные углы; б) длины всех апофем боковых граней равны.
Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание
пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании
пирамиды. Пусть \(O\) – основание высоты \(n\)-угольной пирамиды \(SA_{1}A_{2}\;…\;
A_{n}\) (см. рис.); \(SB_{1}\), \(SB_{2}\), …, \(SB_{n}\) – апофемы (высоты боковых
граней). Проекции апофем \(OB_{1}\), \(OB_{2}\), …, \(OB_{n}\) на плоскость основания
перпендикулярны сторонам основания (по теореме о трех перпендикулярах) и, следовательно,
выражают расстояния от точки \(O\) до этих сторон, а углы \(SB_{1}O\), \(SB_{2}O\), …,
\(SB_{n}O\) являются линейными углами соответствующих двугранных углов. Согласно условию
а), эти углы равны, поэтому равны и прямоугольные треугольники \(SOB_{1}\), \(SOB_{2}\),
…, \(SOB_{n}\), имеющие общий катет \(SO\). Отсюда следует, что \(OB_{1}=OB_{2}=\;…\;
OB_{n}\), т. е. точка \(O\) равноудалена от сторон основания и, значит, является центром
вписанной в него окружности.
Если условие а) заменить условием б), то равенство треугольников \(SOB_{1}\), \(SOB_{2}\), …, \(SOB_{n}\) вытекает из того, что они, кроме общего катета \(SO\), имеют равные гипотенузы \(SB_{1}=SB_{2}=\;…\;SB_{n}\). Таким образом, \(OB_{1}= OB_{2}=\;…\;OB_{n}\), т.е. \(O\) – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
- Если в наклонной призме боковое ребро \(A_{1}B_{1}\) составляет равные углы со
сторонами основания, образующими вершину \(A_{1}\) (см. рис.), то основание \(O\)
высоты \(B_{1}O\) лежит на биссектрисе угла \(A_{1}\). Поведем \(OC\perp A_{1}A_{2}\),
\(OC\perp A_{1}A_{n}\) и отрезки \(B_{1}C\), \(B_{1}D\). Согласно теореме о трех
перпендикулярах, имеем \(B_{1}C\perp A_{1}A_{2}\), \(B_{1}D\perp A_{1}A_{n}\).
Прямоугольные треугольники \(A_{1}CB_{1}\) и \(A_{1}DB_{1}\) равны, так как имеют
общую гипотенузу \(A_{1}B_{1}\) и равные углы (\(\angle B_{1}A_{1}C=\angle B_{1}
A_{1}D\) по условию). Следовательно, \(B_{1}C=B_{1}D\) и \(\triangle B_{1}OC=
\triangle B_{1}OD\), откуда \(OC=OD\). Итак, точка \(O\) равноудалена от сторон
угла \(A_{1}\) и, значит, лежит на биссектрисе \(A_{1}O\) угла \(A_{1}\).
Это же утверждение можно сформулировать так: если в трехгранном угле два острых плоских угла равны, то проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.
- Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника,
лежащего в основании, то противоположные ребра пирамиды перпендикулярны. Справедливо
и обратное утверждение. Пусть \(AD\) – высота \(\triangle ABC\) (см. рис.); тогда
\(BC\perp AD\) и, значит, \(BC\perp AO\). Но \(AO\) является проекцией ребра \(SA\)
на плоскость \(ABC\) и, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(BC\perp SA\).
Аналогично доказывается, что перпендикулярны и две другие пары противоположных ребер пирамиды, т. е. \(AB\perp SC\) и \(AC\perp SB\). Докажем теперь обратное утверждение, т. е. что если \(BC\perp SA\),то основанием \(O\) высоты пирамиды является точка пересечения высот \(\triangle ABC\). Так как \(SO\perp \left(ABC\right)\) (по условию), то \(AO\) является проекцией \(SA\) на плоскость \(ABC\). Но прямая \(BC\), принадлежащая плоскости \(ABC\), перпендикулярна ребру \(SA\) (по условию), поэтому \(BC\perp AO\) (согласно теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, точка \(O\) лежит на высоте \(AD\;\triangle ABC\). Аналогично доказывается, что \(O\) принадлежит и другой высоте \(\triangle ABC\) и, значит, является точкой пересечения высот основания пирамиды.
- Если \(SO\) – высота пирамиды \(SABC\) и \(SA \perp BC\), то плоскость \(SAO\) перпендикулярна \(BC\) (см. рис. выше). Имеем \(SA \perp BC\) (по условию) и \(SO \perp BC\), поскольку \(SO \perp \left(ABC\right)\) Так как прямая \(BC\) перпендикулярна каждой из двух прямых \(SA\) и \(SO\), лежащих в плоскости \(SAO\), то \(\left(SAO\right)\perp BC\) (согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости).