Тругольники, биссектрисы, медианы и точки пересечения без лишней теории.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника
Пусть медианы \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\) (см. рис.). Построим четырехугольник \(MNDE\), где: \(M\) и \(N\) – середины отрезков \(AO\) и \(BO\). Тогда \(MN\parallel AB\) и \(MN=0,5AB\) как средняя линия \(\triangle AOB\); \(ED\parallel AB\) и \(ED=0,5AB\) как средняя линия \(\triangle ABC\). Поэтому \(MN\parallel ED\) и \(MN=ED\), т.е. фигура \(MNDE\) – параллелограмм с диагоналями \(MD\) и \(NE\). Значит, \(MO=OD\) и так как \(MO=AM\), то \(AM=MO=OD\). Итак, точка \(O\) делит медиану \(AD\) в отношении \(AO:OD=2:1\) и в таком же отношении эта точка делит медиану \(BE\).
Очевидно, что в том же отношении должна делить и третью медиану точка ее пересечения как с первой, так и со второй медианами. При этом третья медиана не может пересечь их в точках, отличных от \(O\), поскольку тогда на каждой медиане имелись бы две различные точки, делящие ее в отношении 2:1, считая от вершины, что невозможно.
Длина медианы треугольника выражается формулой
\[m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}},\]где: \(a\), \(b\), \(c\) – длины сторон треугольника.
Продолжим медиану \(AD\) (см. рис.) на расстояние \(DE=AD\) и построим отрезки \(BE\) и \(EC\). В полученном четырехугольнике \(ABEC\) точка \(D\) пересечения диагоналей \(AE=2m_{a}\), и \(BC=a\) делит каждую из них пополам; следовательно, \(ABEC\) – параллелограмм. Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Составив уравнение и решив его относительно \(m_{a}\), получим искомое соотношение.
Длина стороны треугольника выражается формулой
\[a=\frac{2}{3}\sqrt{2\left(m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\right)-m_{a}^{2}},\]где: \(m_{a}\), \(m_{b}\), \(m_{c}\) – длины медиан треугольника.
Отметим на медиане \(AD\) точку \(O\) пересечения медиан \(\triangle ABC\) (см. рис.); согласно свойству 1, она делит \(AD\) в отношении \(AO:OD=2:1\). Продолжим \(OD\) на расстояние \(DF=OD=\frac{1}{3}m_{a}\) и соединим точку \(F\) c \(B\) и \(C\). Теперь составим уравнение, связывающее длины сторон \(BO=\frac{2}{3}m_{b}\), \(CO=\frac{2}{3}m_{c}\) и диагоналей \(OF=\frac{2}{3}m_{a}\), \(BC=a\) параллелограмма \(OBFC\). Решив это уравнение относительно \(a\), получим искомое соотношение.
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам, т.е.
\[\frac{a}{b}=\frac{a_{1}}{b_{1}},\]где: \(a\), \(b\) – стороны треугольника, \(a_{1}\), \(b_{1}\) – прилегающие к ним отрезки стороны \(c\).
1-ый способ. Пусть \(CD\) – биссектриса \(\triangle ABC\) (см. рис.). Треугольники BCD и ACD с основаниями \(a_{1}\) и \(b_{1}\) имеют общую высоту. Пусть их площади равны соответственно \(S_{1}\) и \(S_{2}\); тогда \(S_{1}:S_{2}= a_{1}:b_{1}\). С другой стороны, имеем
\[S_{1}=\frac{1}{2}a\cdot CD \sin \frac{C}{2},\\ S_{2}=\frac{1}{2}b\cdot CD \sin \frac{C}{2},\]откуда \(S_{1}:S_{2}=a:b\). Сравнивая полученные пропорции, заключаем, что \(a_{1}:b_{1}=a:b\).
2-ый способ. Пусть \(\angle BDC=\beta\) (см. рис.); тогда \(\angle ADC= \pi-\beta\). Согласно теореме синусов, имеем \(a_{1}:a=\sin \frac{C}{2}:\sin \beta\) (из \(\triangle BCD\)) и \(b_{1}:b=\sin \frac{C}{2}:\sin \left(\pi-\beta\right)= \sin \frac{C}{2}:\sin \beta \) (из \(\triangle ACD\)). Сравнивая эти пропорции, заключаем, что \(a_{1}:a= b_{1}:b\), откуда \(a_{1}:b_{1}=a:b\).
3-ый способ. Продолжим биссектрису \(CD\) до пересечения в точке \(E\) с прямой \(AE\parallel CB\) (см. рис.). Имеем \(\angle \alpha=\angle \beta\) (по условию) и \(\angle \alpha=\angle \gamma\) (углы при параллельных \(CB\) и \(AE\) и секущей \(CE\)). Сопоставив эти равенства, получим \(\angle \beta=\angle \gamma\). Следовательно, \(\triangle ACE\) – равнобедренный и \(AE=AC=b\); \(\triangle AED \sim \triangle BCD\) (вследствие равенства углов), откуда \(a_{1}:b_{1}=a:b\).
Длина биссектрисы треугольника выражается формулой
\[l_{c}=\sqrt{ab-a_{1}b_{1}},\]где: \(a\) и \(b\) – длины двух сторон треугольника \(ABC\); \(a_{1}\) и \(b_{1}\) – отрезки третьей стороны.
1-ый способ. Применив теорему косинусов к \(\triangle BDC\) и \(\triangle ADC\) c равными углами \(\angle BCD\) и \(\angle ACD\), составим уравнение
\[\frac{l_{c}^{2}+a^{2}-a_{1}^{2}}{2al_{c}}=\frac{l_{c}^{2}+b^{2}-b_{1}^{2}}{2bl_{c}},\]откуда \(b\left(l_{c}^{2}+a^{2}-a_{1}^{2}\right)=a\left(l_{c}^{2}+b^{2}-b_{1}^{2}\right)\), или \(l_{c}^{2}\left(b-a\right)-ab\left(b-a\right)=\left(a_{1}b\right)a_{1}-\left(ab_{1} \right)b_{1}\). Используя равенство \(ab_{1}=a_{1}b\), имеем \(\left(b-a\right) \left(l_{c}^{2}-ab\right)=ab_{1}a_{1}-a_{1}bb_{1}\), или \(\left(b-a\right)\left(l_{c}^{2}-ab \right)=-a_{1}b_{1}\left(b-a\right)\). Полагая \(b\neq a\), разделим обе части последнего равенства на \(b-a\), откуда \(l_{c}^{2}=ab-a_{1}b_{1}\).
2-ой способ. Опишем около \(\triangle ABC\) окружность, продолжим биссектрису \(CD=l_{c}\) до пересечения с окружностью в точке \(E\) (см. рис.) и соединим \(B\) c \(E\). Так как \(\triangle ADC \sim \triangle EBC \)‚ то \(\frac{l_{c}}{b}= \frac{a}{l_{c}+DE},\) или \(ab=l_{c}\left(l_{c}+DE \right)\). Учитывая, что \(l_{c} \cdot DE=a_{1}b_{1}\), запишем последнее равенство в виде \(ab=l_{c}^{2}+a_{1}b_{1}\), откуда \(l_{c}=\sqrt{ab-a_{1}b_{1}}\).
Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон \(a\), \(b\) и \(c\) по формуле
\[l_{c}=\frac{\sqrt{ab\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)}}{a+b}.\]Запишем соотношение \(l_{c}=\sqrt{ab-a_{1}b_{1}},\) в виде \(l_{c}^{2}= ab-a_{1}\left(c-a_{1}\right)\). Далее, используя \(\frac{a}{b}= \frac{a_{1}}{b_{1}}\), получаем \(\frac{a}{b}=\frac{a_{1}}{c-a_{1}}\), т.е. \(a_{1}=\frac{ac}{a+b}\). Отсюда находим \(l_{c}^{2}=ab-\frac{ac}{a+b}\left(c- \frac{ac}{a+b}\right)\) и требуемое значение \(l_{c}\).
Для всякого треугольника зависимость между его высотами \(h_{a}\), \(h_{b}\), \(h_{c}\) и радиусом \(r\) вписанной окружности выражается формулой
\[\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}.\]Используя формулы \(r=\frac{S}{p}\) и \(S=\frac{1}{2}ah_{a}\), имеем \(S=rp\), \(2S=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}\). Отсюда находим
\[\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+ \frac{c}{2S}=\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{1}{S}=p\frac{1}{S}=\frac{1}{r}.\]Площадь \(S\) равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т. е. \(S=h^{2}\).
В равнобедренной трапеции осью симметрии является перпендикуляр \(MN\) к ее основаниям, проходящий через точку \(O\) пересечения диагоналей (см. рис.).
Так как \(\angle AOD=90^{\circ}\), то \(AD=2ON\) и \(BC=2OM\). Следовательно,
\[S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot MN=\left(ON+OM\right)MN=MN^{2}=h^{2}.\]Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований.
Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то \(a+b=2c\) (см. рис.), откуда \(AB=\frac{a+b}{2}\). Далее имеем \(AE=\frac{a-b}{2}\) и из прямоугольного треугольника \(BEA\) находим \(BE^{2}=AB^{2}-AE^{2}\), т.е. \(h^{2}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}- \left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}=ab\).