Комплексные числа: формулы, действия, тригонометрическая и алгебраическая формы. Сумма, разность и произведение комплексных чисел.
- Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид
\[z=a+bi \; \left(a\in \mathbb{R},\; b\in \mathbb{R},\;i^{2}=-1\right),\]где: \(a=Re\;z\) – действительная часть, \(b=Im\;z\) – мнимая часть. Если \(a≠0, b≠0,\) то число \(z\) называется мнимым; если \(a=0, b≠0,\) то оно называется чисто мнимым.
- Комплексное число \(z=a+bi\) на координатной плоскости изображается либо точкой \(M\) с абсциссой \(a\) и ординатой \(b\), либо вектором \(\vec{OM}\) с началом \(O\) и концом \(M\) (радиус-вектором точки \(M\)).
- Условие равенства двух комплексных чисел \(z_{1}=a_{1}+b_{1}i\) и \(z_{2}=a_{2}+b_{2}i\)
\[z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow \begin{cases} a_{1}=a_{2},\\ b_{1}=b_{2}. \end{cases}\]
- Сумма, разность и произведение комплексных чисел \(z_{1}=a_{1}+b_{1}i\) и
\(z_{2}=a_{2}+b_{2}i\) находятся по формулам
\[z_{1}+z_{2}=\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(b_{1}+b_{2}\right)i;\] \[z_{1}-z_{2}=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(b_{1}-b_{2}\right)i;\] \[z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}\right)+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)i.\]
- Числа \(z=a+bi\) и \(-z=-a-bi\) называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна нулю \(z+(-z)=0\).
- Числа \(z=a+bi\) и \(\bar{z}=a-bi\) называются сопряженными. Сумма и произведение двух
сопряженных чисел являются действительными числами
\[z+\bar{z}=2a,\quad z\bar{z}=a^{2}+b^{2}.\]
- Для нахождения частного комплексных чисел \(z_{1}=a_{1}+b_{1}i\) и \(z_{2}=a_{2}+b_{2}i\) сначала числитель и знаменатель дроби \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) умножают на сопряженное знаменателю число \(z_{2}=a_{2}-b_{2}i\), а затем производят остальные действия.
- Степени числа \(i\). Так как \( i^{1}=i,\;\) \(i^{2}=-1,\;\) \(i^{3}=i^{2}\cdot
i=-i,\;\) \(i^{4}=\left(i^{2}\right)^{2}=1\), то
\[i^{4n+1}=i,\; i^{4n+2}=-1,\] \[i^{4n+3}=-i,\; i^{4n}=1,\] \[n \in \mathbb{N}.\]
- Тригонометрическая форма комплексного числа \(z\) имеет вид
\[z=r\left( \cos\varphi+i\sin\varphi\right),\]где: \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) – модуль числа \(z\), а аргумент \(\varphi \) числа \(z\) связан с \(a\) и \(b\) формулами\[\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \quad \sin\varphi= \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\]Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если \(\varphi\) – аргумент числа \(z\), то \(\varphi+2\pi k\) – также аргумент этого числа при любом целом \(k\). Для однозначности определения аргумента его выбирают в пределах \(-\pi < \varphi≤\pi\) и обозначают \(arg\;z\); такое значение аргумента называют главным. В дальнейшем под аргументом комплексного числа мы будем понимать его главное значение.
- Пусть \(z_{1}=r_{1}\left( \cos\varphi_{1}+i\sin\varphi_{1}\right)\) и \(z_{2}=
r_{2}\left( \cos\varphi_{2}+i\sin\varphi_{2}\right)\) – комплексные числа, заданные
в тригонометрической форме. Тогда для произведения \(z_{1}z_{2}\) и частного
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) справедливы формулы
\[z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left(\cos\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i\sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right),\] \[\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2} \right)+i\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right),\]а для \(n\)-й степени числа \(z=r\left( \cos\varphi+i\sin\varphi\right)\) – формула\[z^{n}=r^{n}\left( \cos n\varphi+i\sin n\varphi\right), \; n \in \mathbb{N}.\]При \(r=1\) это соотношение принимает вид\[\left( \cos \varphi+i\sin \varphi\right)^{n}=\cos n\varphi+i\sin n\varphi\]и называется формулой Муавра.
- Корень \(n\)-й степени из комплексного числа \(z=r\left( \cos\varphi+
i\sin\varphi\right)\) имеет \(n\) различных значений, которые находятся по формуле
\[\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left( \cos \frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\] где: \(k=0, 1, 2, …, n-1.\)