Уравнения с одной переменной: линейные, квадратные и высших степеней. Общие указания к решению.
- Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную (ее иногда называют неизвестным). Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем (или решением) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
- Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. В процессе решения
заданное уравнение заменяют более простым; при этом используют следующие правила преобразования
уравнения в равносильное ему:
- какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
- обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число;
- уравнение вида \(f(x)/g(x)=0\) можно заменить равносильной системой
\[\begin{cases} f\left(x\right)=0,\\ g\left(x\right)\neq0\end{cases}\]или решить уравнение \(f(x)=0\), а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель \(g(x)\).
- Пусть в результате преобразования уравнения
\[f_{1}\left(x\right)=g_{1}\left(x\right)\]получено уравнение\[f_{2}\left(x\right)=g_{2}\left(x\right).\]Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то последнее называют следствием первого уравнения. Корни второго уравнения, не удовлетворяющие первому уравнению, называются посторонними корнями первого уравнения и не считаются решениями этого уравнения. К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или в другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т.п.
- Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение. Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.
- Если уравнение имеет вид
\[f\left(x\right)h\left(x\right)=g\left(x\right)h\left(x\right),\]то деление обеих его частей на \(h(x)\), как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения \(h(x)=0\), если они существуют. Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.