Таблица производных и правила дифференцирования. Все основные формулы математического анализа на одной странице без теории.
| Первообразная \(F\left(x\right)\) | Функция \(f\left(x\right)\) | Производная \(f'\left(x\right)\) |
| \(ax\) | \(a\) | \(0\) |
| \(\frac{x^{p+1}}{p+1},\; p\neq -1\) | \(x^{p}, \; p \in \mathbb{R}\) | \(px^{p-1}\) |
| \( \frac{a^{x}}{\ln a}\) | \( a^{x}\) | \( a^{x} \ln a\) |
| \( e^{x}\) | \( e^{x}\) | \( e^{x}\) |
| \( x\ln x-x\) | \( \ln x\) | \( \frac{1}{x}\) |
| \( x\log _{a} \frac{x}{e}\) | \( \log _{a}x\) | \( \frac{1}{x\ln a}\) |
| \( \ln \left| x \right|\) | \( \frac{1}{x}\) | \( -\frac{1}{x^{2}}\) |
| \( -\cos x\) | \( \sin x\) | \( \cos x\) |
| \( \sin x\) | \( \cos x\) | \( -\sin x\) |
| \( -\ln \left| \cos x \right|\) | \( \tan x\) | \( \frac{1}{\cos^{2}x}\) |
| \( \ln \left| \sin x\right|\) | \( \cot x\) | \( -\frac{1}{\sin ^{2}x}\) |
| \( \frac{1}{a}F\left(u\right)=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right),\) \( a\neq 0\) | \( f\left(u\right)=f\left(ax+b\right)\) | \( af'\left(u\right)=af'\left(ax+b\right)\) |
- Правила дифференцирования
\[\left(cu\right)'=cu',\] \[\left(u+v\right)'=u'+v',\] \[\left(uv\right)'=u'v+uv',\] \[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v+uv'}{v^{2}},\] \[\left( g \left( f \left( x \right) \right) \right)'=g' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right),\]где: \(u, v\) – функции, \(c\) – постоянная, \(g \left( f \left( x \right) \right)\) – сложная функция.
- Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) записывается в виде
\[y-y_{0}=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right),\]где: \((x_{0}; y_{0})\) – точка касания.
- Правила нахождения первообразных:
- если \(F\) – первообразная для \(f\), а \(G\) – первообразная для \(g\), то \(F+G\) есть первообразная для \(f+g\);
- если \(F\) – первообразная для \(f\), а \(k\) – постоянная, то \(kF\) – есть первообразная для \(kf\);
- если \(F(x)\) – первообразная для \(f(x)\), а \(k≠0\) и \(b\) – постоянные, то \(\frac{1} {k}F\left( kx+b \right)\) есть первообразная для функции \(f\left( kx+b \right)\).
- Формула Ньютона-Лейбница имеет вид
\[\int \limits_a^b f\left(x\right)dx= F\left(b\right)-F\left(a\right).\]
- Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью \(Ox\), прямыми \(x=a\) и \(x=b\) и
графиком неотрицательной функции \(y=f(x)\) на отрезке \([a, b]\), находится по формуле
\[S=\int \limits_a^b f\left(x\right)dx.\]