Свойства и формулы неравенств. Основные правила, числовые промежутки и схемы для быстрого решения задач без воды.
Числовое неравенство
Это неравенство, верное при всех допустимых или при специально подобранных значениях входящих в него букв. Например, \(a^{2}+b^{2}\geq 2ab\), где: \(a\) и \(b\) – любые действительные числа; \(\sqrt{a}\geq 0\), где: \(a≥0\).
Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств основан на определениях понятий "больше" и "меньше" и заключается в выяснении знака разности между левой и правой частями неравенства. Эти определения состоят в следующем:
- если \(a-b > 0\), то \(a > b\);
- если \(a-b < 0\), то \(a < b\);
- если \(a-b = 0\), то \(a = b\).
Приведенные определения можно использовать и в обратном порядке: если \(a > b\), то \(a-b > 0\) и т.д.
Основные свойства числовых неравенств
- Если \(a > b\), то \(b < a \).
- Если \(a > b\) и \(b > c\), то \(a > c\).
- Если \(a > b\) и \(c\in\mathbb{R}\), то \(a+c > b+c\). На основании этого свойства члены неравенства можно переносить из одной части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак неравенства.
- Если \(a > b\) и \(c > 0\), то \(ac > bc\).
- Если \(a > b\) и \(c < 0\), то \(ac < bc\).
- Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, т. е. если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a+c > b+d\).
- Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать, т. е. если \(a > b > 0\) и \(c > d > 0\), то \(ac > bd\).
- Если \(a > b > 0\), то \(a^{n} > b^{n},\;n\in\mathbb{N}\).
- Если \(a > 0, b > 0\), и \(a^{n} > b^{n},\;n\in\mathbb{N}\), то \(a > b\).
- Если \(a > b > 0\), то \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).
Доказательство неравенств
Иногда при доказательстве неравенств используются некоторые известные неравенства. Такими, например, являются следующие: