Неравенства с одной переменной: схемы решения, интервалы и формулы на одной странице.
- Неравенства с одной переменной имеют следующий вид:
\[f\left(x\right) > g\left(x\right),\; f\left(x\right) < g\left(x\right),\] \[f\left(x\right)\geq g\left(x\right),\; f\left(x\right) \leq g\left(x\right).\]Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства более простым, но равносильным заданному.
- При решении неравенств используются следующие правила преобразования неравенства
в равносильное:
- какой-либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства;
- обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства;
- обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный;
- если для одних и тех же значений \(x\) справедливы неравенства \(f\left(x\right) > 0\), \(g\left(x\right) > 0\) и \(f\left(x\right) > g\left(x\right)\), то для тех же значений \(x\) верно неравенство \(\left(f\left(x\right) \right)^{n} > \left(g\left(x\right) \right)^{n}, \; n \in \mathbb {N}\).
- Пусть заданное неравенство имеет вид
\[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\](вместо знака \(>\) могут быть знаки \( < \), \( ≥ \), \( ≤ \), а функция в знаменателе может быть постоянной) либо оно приведено к этому виду с помощью правил п. 2. Для решения этого неравенства применяется метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем:
- на числовую ось наносят точки \(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}\), разбивающие ее на промежутки, в которых выражение \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений \(f(x)=0\) и \(g(x)=0\). Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками – точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками – не удовлетворяющие ему;
- определяют и отмечают на числовой оси знак выражения \(\frac{f\left(x\right)} {g\left(x\right)}\) для значений \(x\), принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) являются многочленами и не содержат множителей вида \(\left(x-a\right)^{2n}\), где: \(n \in \mathbb{N}\), то достаточно определить знак функции \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
получаем следующее решение неравенства: \(\left(x_{1}, a\right) \cup \left(a, x_{2}\right) \cup \left(x_{3}, \infty \right)\).Роль кривой знаков может играть схематическое расположение параболы относительно оси \(Ox\). Так, в случае, изображенном на рисунке,решение соответствующего квадратного неравенства имеет вид \(\left(-\infty, x_{1}\right) \cup \left(x_{2}, \infty \right)\) (\(x_{1}\) и \(x_{2} \) – корни квадратичной функции). - Рассмотрим решение квадратного неравенства
\[ax^{2}+bx+c > 0\]в случае отрицательного дискриминанта квадратного трехчлена \(ax^{2}+bx+c \quad \left(D=b^{2}-4ac< 0\right)\). Если \(a>0\), то неравенство \(ax^{2}+bx+c>0\) выполняется при всех значениях \(x\) (рис. а); если же \(a< 0\), то оно не выполняется ни при каком значении \(x\) (рис. б).
- Иррациональное неравенство
\[\sqrt{f\left(x\right)} < g\left(x\right)\]можно рассматривать при условии\[f\left(x\right)\geq 0 \Rightarrow \sqrt{f\left(x\right)} \geq 0 \Rightarrow g\left(x\right)>0.\]Значит, согласно указанию 2г, обе его части можно возвести в квадрат. Из приведенных выше рассуждений следует, что неравенство \(\sqrt{f\left(x\right)} < g\left(x\right)\) равносильно системе неравенств\[\begin{cases} f\left(x\right)\geq 0 \\ g\left(x\right) > 0 \\ \left(\sqrt{f\left(x\right)}\right)^{2} < \left(g\left(x\right)\right)^{2}.\end{cases}\]
- Иррациональное неравенство
\[\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\]можно рассматривать при условии\[f\left(x\right)\geq 0 \Rightarrow \sqrt{f\left(x\right)} \geq 0.\]Однако при этом условии его правая часть \(g(x)\) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а потому неравенство \(\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\) равносильно совокупности двух систем неравенств:\[\begin{cases} f\left(x\right)\geq 0, \\ g\left(x\right) \geq 0, \\ \left(\sqrt{f\left(x\right)}\right)^{2}>\left(g\left(x\right)\right)^{2};\end{cases}\] \[\begin{cases} f\left(x\right)\geq 0, \\ g\left(x\right) < 0. \end{cases}\]
- Показательное неравенство
\[a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\]при \(a > 1\) равносильно неравенству\[f\left(x\right) > g\left(x\right),\]а при \(0 < a < 1\) – неравенству\[f\left(x\right) < g\left(x\right).\]
- Логарифмическое неравенство
\[\log_{a}f\left(x\right)>\log_{a} g\left(x\right)\]при \(a > 1\) равносильно системе неравенств\[\begin{cases} f\left(x\right)>0, \\ g\left(x\right)>0, \\ f\left(x\right)>g\left(x\right),\end{cases}\]а при \(0 < a < 1\) – системе неравенств\[\begin{cases} f\left(x\right) > 0, \\ g\left(x\right) > 0, \\ f\left(x\right) < g\left(x\right).\end{cases}\]
- Для решения простейших тригонометрических неравенств
\[\sin x>a, \cos x>a, \tan x>a, \cot x>a\](вместо знака \( > \) могут быть знаки \( < \), \( ≥ \), \( ≤ \)) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей тригонометрической функции с прямой \(y=a\), расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции. Неравенства этого вида можно решать также с помощью единичного тригонометрического круга. Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.