Показательные и логарифмические уравнения. Общие формулы, методы решения, свойства степеней и логарифмов без лишней теории.
Показательное уравнение
Это показательное уравнение:
равносильно уравнению:
которое получается логарифмированием первого уравнения по какому-либо основанию \(c>0, c≠1\).
В частности, уравнение \(a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\) равносильно уравнению \( f\left(x\right)=g\left(x\right)\).
Корнями уравнения:
считаются только решения смешанной системы:
и те значения \(x\), для которых \(u(x)=1\), если при этих значениях определены \(f(x)\) и \(g(x)\). Функция вида \((u(x))^{f(x)}\) определена только при \(u(x)>0\), поэтому те значения \(x\), которые формально удовлетворяют равенству \(\left(u\left(x\right) \right)^{f\left(x\right)}=\left(u\left(x\right)\right)^{g\left(x\right)}\), но при которых \(u(x)≤0\), не принято считать его корнями.
Логарифмическое уравнение
Это логарифмическое уравнение:
равносильно уравнению:
А это логарифмическое уравнение:
равносильно каждой из следующих систем:
или
\[\begin{cases} g\left( x\right)>0,\\ f\left( x\right)=g\left( x\right). \end{cases}\]Для решения этого уравнения переходят только к одной из этих систем (той, которая проще) либо решают уравнение \(f(x)=g(x)\), которое может иметь корни, посторонние для исходного уравнения, и проверяют каждый из них подстановкой в исходное уравнение.
Для решения уравнений:
их приводят соответственно к виду:
и далее решают так, как указано выше.
Из найденных корней следует включить в ответ те, для которых \(f(x)>0, g(x)>0, u(x)>0\), либо проверить каждый из них подстановкой в исходное уравнение.
Если при решении уравнения производятся преобразования вида \(\log _{a} \left( f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right),\; \log _{a} \frac{f\left( x\right)}{g\left( x\right)},\; \log _{a} \left(f\left( x\right) \right)^{p},\) \(p\) – четное число, то возникает опасность потери корней заданного уравнения. Чтобы предотвратить возможную потерю корней, надо пользоваться указанными формулами в таком виде: