Формулы планиметрии на одной странице. Свойства геометрических фигур, площади, периметры и схемы без лишнего текста.
- Произвольный треугольник (\(a, b, c\) – стороны; \(α, β, γ\) – противолежащие
им углы; \(p\) – полупериметр; \(R\) – радиус описанной окружности; \(r\) – радиус
вписанной окружности; \(S\) – площадь; \(h_{a}\) – высота, проведенная к стороне \(a\)):
\[S=\frac{1}{2}ah_{a};\] \[S=\frac{1}{2}bc \sin \alpha; \] \[r=\frac{S}{p};\] \[R=\frac{abc}{4S};\] \[S=\frac{a^{2} \sin B \sin C}{2\sin A};\] формула Герона: \[S=\sqrt{p\left(p-a\right) \left(p-b\right) \left(p-c\right)};\] теорема косинусов: \[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \alpha;\] теорема синусов: \[\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R.\]
- Прямоугольный треугольник (\(a, b\) – катеты; \(c\) – гипотенуза;
\(a_{c}, b_{c}\) – проекции катетов на гипотенузу):
\[S=\frac{1}{2}ab;\] \[S=\frac{1}{2}ch_{c};\] \[r=\frac{a+b-c}{2};\] \[R=\frac{c}{2};\] \[\frac{a_{c}}{h_{c}}=\frac{h_{c}}{b_{c}};\] \[\frac{a_{c}}{a}=\frac{a}{c};\] \[\frac{b_{c}}{b}=\frac{b}{c};\] \[a=c\sin \alpha=c\cos \beta=b\tan \alpha=b\cot \beta;\] теорема Пифагора: \[a^{2}+b^{2}=c^{2}.\]
- Равносторонний треугольник:
\[S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4};\] \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6};\] \[R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\]
- Произвольный выпуклый четырехугольник (\(d_{1}\) и \(d_{2}\) – диагонали;
\(\varphi\) – угол между ними; \(S\) – площадь):
\[S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \varphi.\]
- Параллелограмм (\(a\) и \(b\) – смежные стороны; \(α\) – угол между ними;
\(h_{a}\) – высота, проведенная к стороне \(a\)):
\[S=ah_{a}=ab\sin \alpha=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \varphi.\]
- Ромб:
\[S=ah_{a}=a^{2}\sin \alpha=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}.\]
- Прямоугольник (\(d\) – диагональ):
\[S=ab=\frac{1}{2}d^{2}\sin \varphi.\]
- Квадрат:
\[S=a^{2}=\frac{1}{2}d^{2}.\]
- Трапеция (\(a\) и \(b\) – основания; \(h\) – расстояние между ними;
\(l\) – средняя линия):
\[l=\frac{a+b}{2};\] \[S=\frac{a+b}{2}h=lh.\]
- Описанный многоугольник (\(p\) – полупериметр; \(r\) – радиус вписанной
окружности):
\[S=pr.\]
- Правильный многоугольник (\(a_{n}\) – сторона правильного \(n\)-угольника;
\(R\) – радиус описанной окружности; \(r\) – радиус вписанной окружности):
\[ a_{3}=R\sqrt{3};\quad a_{4}=R\sqrt{2};\quad a_{6}=R;\] \[S=\frac{na_{n}r}{2}.\]
- Окружность, круг (\(r\) – радиус; \(C\) – длина окружности; \(S\) –
площадь круга):
\[C=2\pi r;\] \[S=\pi r^{2}.\]
- Сектор (\(l\) – длина дуги, ограничивающей сектор; \(n^\circ\) – градусная
мера центрального угла; \(α\) – радианная мера центрального угла):
\[l=\frac{\pi rn^\circ}{180^\circ}=r\alpha;\] \[S=\frac{\pi r^{2}n^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{2}r^{2}\alpha.\]