Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Формулы динамики: законы Ньютона, центр масс, реактивное движение, импульс, энергия. Поступательное и вращательное движение.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки выражается в виде

\[\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},\]

где: \(\vec{F}\) – результирующая сила, действующая на материальную точку массы \(m\), \(\vec{p}=m\vec{v}\) – импульс материальной точки, \(\vec{v}\) – ее скорость.

Изменение импульса \(\Delta \vec{p}\) материальной точки за конечный промежуток времени \(\Delta t=t_{2}-t_{1}\) есть

\[\Delta\vec{p}=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}\,dt.\]

Закон изменения импульса механической системы тел

\[\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{out},\]

где: \(\vec{F}_{out}=\sum\limits_{i=1}^n\vec{F_{i}}_{out}\) – главный вектор внешних сил, \(\vec{p}=\sum\limits_{i=1}^n\vec{p_{i}}\) – импульс механической системы \(n\) тел.

Основной закон динамики поступательного движения твердого тела

\[\frac{d\left(m\vec{v}\right)}{dt}=\vec{F}_{out}.\]

Если масса тела \(m=const\), то

\[\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{1}{m}\vec{F}_{out}.\]

Центр масс системы материальных точек определяется следующим образом:

\[\vec{r}_{c}=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_{i}\vec{r_{i}},\]

где: \(M=\sum\limits_{i=1}^n m_{i}\) – масса всей системы, \(m_{i}\) – масса \(i\)-ой материальной точки, \(\vec{r_{i}}\) – ее радиус-вектор.

В случае непрерывного распределения массы (твердое тело, например) формула принимает вид

\[\vec{r_{c}}=\frac{1}{M}\int \vec{r}dm.\]

Скорость центра масс системы

\[\vec{v}_{c}=\frac{d\vec{r}_{c}}{dt}=\frac{1}{M}\frac{d}{dt}\sum\limits_{i=1}^n m_{i} \vec{r}_{i}=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_{i} \frac{d\vec{r}_{i}}{dt}=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_{i} \vec{v}_{i}.\]

Закон движения центра масс

\[\frac{d}{dt}\left(M\vec{v}_{c}\right)=\vec{F}_{out}.\]

Закон сохранения импульса замкнутой системы тел \(\left(\vec{F}_{out}=0\right)\) \(\frac{d\vec{p}}{dt}=0\), т. е. \(\vec{p}=const\) – импульс замкнутой системы тел (точек).

Уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещерского)

\[m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}_{out}+\vec{u}\frac{dm}{dt},\]

где: \(\vec{u}\frac{dm}{dt}=\vec{F}_{r}\) – реактивная сила, \(\vec{u}\) – относительная скорость потери (увеличения) массы тела.

Второй закон Ньютона для вращательного движения материальной точки

\[F_{n}=\frac{mv^{2}}{R}=m\omega^{2}R,\]

где: \(v\) – линейная скорость, \(ω\) – угловая скорость, \(R\) – радиус кривизны траектории в данной точке.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки

\[m\vec{a}_{r}=\vec{F}-m\vec{a}_{e}-m\vec{a}_{k},\]

где: \(\vec{a}_{r}\) – относительное ускорение точки, \(\vec{a}_{e}\) – переносное ускорение точки, \(\vec{a}_{k}\) – кориолисово ускорение точки; \(\vec{a}_{k}=2\left[\vec{\Omega}\times \vec{v}_{r}\right]\), \(\vec{a}_{e}=\dot{\vec{v}}_{0}+\left[\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{r}\right]+ \left[\vec{\Omega}\times\left[\vec{\Omega}\times\vec{r}\right]\right]\), \(\vec{v}_{0}\) – скорость неинерциальной системы отсчета (CO) относительно инерциальной, \(\vec{\Omega}\) – угловая скорость вращения неинерциальной СО относительно инерциальной, \(\vec{v}_{r}\) – относительная скорость точки (скорость в неинерциальной СО).

Сила гравитационного притяжения двух материальных точек

\[\vec{F}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{3}}\vec{r},\]

где: \(G\)=6,672∙10-11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная, \(m_{1}\) и \(m_{2}\) – массы взаимодействующих точек, \(\vec{r}\) – радиус-вектор, проведенный из центра масс системы к материальной точке.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

\[W=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r}.\]

Третий закон Кеплера

\[\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3},\]

где: \(T_{1}\), \(T_{2}\) – периоды вращения планет, \(R_{1}\), \(R_{2}\) – большие полуоси их орбит.

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.