Кинематика

Формулы кинематики: скорость, ускорение, свободное падение и движение по окружности. Угловая скорость и период вращения.

Скорость и ускорение материальной точки

\[\vec{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial t},\quad\vec{a}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t},\]

где: \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки.

Перемещение точки за время \(\Delta t=t_{1}-t_{0}\)

\[\Delta\vec{r}=\vec{r}(t_{1})-\vec{r}(t_{0})=\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{v}(t)\,dt,\]

а соответствующее изменение скорости

\[\Delta\vec{v}=\vec{v}(t_{1})-\vec{v}(t_{0})=\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{a}(t)\,dt.\]

Для равномерного движения \(\vec{v}=const\) и \(\vec{a}=0\) получим

\[\Delta\vec{r}=\vec{v}\Delta t, \quad \Delta \vec{v}=0.\]

В случае прямолинейного движения

\[|\Delta\vec{r}|=S=v\Delta t,\]

где: \(S\) – путь, пройденный точкой за время \(Δt\).

В случае равнопеременного движения \(\vec{a}=const\) получим

\[\Delta\vec{v}=\vec{v}(t_{1})-\vec{v}(t_{0})=\vec{a}\Delta t,\] \[\Delta\vec{r}=\vec{r}(t_{1})-\vec{r}(t_{0})=\vec{v}_{0}\Delta t+\frac{\vec{a}(\Delta t)^{2}}{2}.\]

При криволинейном движении ускорение точки удобно разложить на две составляющие: тангенциальную (касательную) и нормальную (центростремительную)

\[\vec{a}=\vec{a}_{\tau}+\vec{a}_{n},\]

где: \(a_{\tau}=\frac{dv}{dt}\) – тангенциальное ускорение (направлено по касательной к траектории) и \(a_{n}=\frac{v^{2}}{R}\) – нормальное ускорение (направлено вдоль главной нормали), R – радиус соприкасающейся окружности (радиус кривизны траектории в данной точке).

Полное ускорение по модулю равно

\[a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{dv}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{v^{2}}{R} \right)^{2}}.\]

Угловая скорость вращения тела определяется как

\[\vec{\omega}=\frac{d\vec{\varphi}}{dt},\]

где: \(\vec{\varphi}\) – вектор угла поворота тела, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Для равномерного вращения тела вокруг оси

\[\omega=\frac{d\varphi}{dt}=const.\]

В этом случае угол поворота и угловая скорость

\[\varphi=\omega t,\\ \omega=\frac{\varphi}{t}=\frac{2\pi}{T}=2\pi n,\]

где: \(T\) – период вращения, \(n\) – частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.

Угловая скорость связана с линейной скоростью

\[v=\omega R.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.