Вращательное движение твердых тел

Формулы вращательного движения: момент инерции, угловая ускорение, момент силы. Закон сохранения момента импульса.

Момент силы относительно неподвижной точки \(O\)

\[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F},\]

где: \(\vec{r}\) – радиус-вектор, проведенный из точки \(O\) в точку приложения силы \(\vec{F}.\)

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки \(O\)

\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p},\]

где: \(\vec{r}\) – радиус-вектор, проведенный из точки \(O\) к материальной точке.

Закон изменения момента импульса

\[\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}_{out},\]

где: \(\vec{M}_{out}\) – момент внешних сил относительно неподвижной точки \(O\).

Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси

\[J=\underset{i=1}{\sum}m_{i}r_{i}^{2},\]

где: \(r_{i}\) – расстояние от данной точки до оси вращения.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения

\[J=\int r^{2}dm=\underset{\left(V\right)}{\int}r^{2}\rho dV,\]

где: \(\rho\) – плотность тела.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции \(J_{0}\) относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

\[J=J_{0}+md^{2},\]

где: \(m\) – масса тела и \(d\) – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

\[\vec{M}dt=d\vec{L}=d\left(J\vec{\omega}\right),\]

где: \(\vec{M}\) – момент сил, приложенных к телу, \( \vec{L}\) – момент импульса тела (\(J\) – момент инерции тела, \( \vec{\omega}\) – его угловая скорость). Если \(J=const \), то

\[\vec{M}=J\frac{d\vec{\omega}}{dt}=J\vec{\varepsilon},\]

где: \(\vec{\varepsilon}\) – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил \(\vec{M}\).

Уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси \(OZ\)

\[\frac{dL_{Z}}{dt}=M_{Z\:out},\]

где: \(L_{Z}\) и \(M_{Z}\) – проекции моментов импульса и внешних сил на ось вращения

\[L_{Z}=J_{Z}\omega, \qquad \frac{d}{dt}\left(J_{Z}\omega\right)=M_{Z\:out}.\]

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси

\[W_{k}=\frac{J\omega^{2}}{2}.\]

Сопоставление уравнений динамики вращательного движения с уравнениями поступательного движения дано в таблице.

	Поступательное движение	Вращательное движение
Второй закон Ньютона	\(\vec{F}\Delta t=m\vec{v}_{2}-m\vec{v}_{1}\) или \(F=ma\) Закон сохранения импульса: \[\underset{i}{\sum}mv=const\]	\(\vec{M}\Delta t=J\vec{\omega}_{2}-J\vec{\omega}_{1}\) или \(M=J\varepsilon\) Закон сохранения момента импульса: \[\underset{i}{\sum}J\omega=const\]
Работа и кинетическая энергия	\[A=\vec{F}\vec{S}=\frac{mv_{2}^{2}}{2}-\frac{mv_{1}^{2}}{2}\]	\[A=\vec{M}\vec{\varphi}=\frac{J\omega_{2}^{2}}{2}-\frac{J\omega_{1}^{2}}{2}\]
Условия статического равновесия тела (системы тел)	\[\underset{i=1}{\sum}\vec{F}_{i}=0\]	\[ \underset{i=1}{\sum}\vec{M}\left(\vec{F}_{i_{0}}\right)=0\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.