Электромагнетизм

Формулы электромагнетизма: индукция, сила Лоренца и Ампера, магнитный поток. Наглядные схемы физических законов без воды.

Магнитная индукция \(\vec{B}\) связана с напряженностью \(\vec{H}\) магнитного поля соотношением

\[\vec{B}=\mu_{0}\mu\vec{H},\]

где: \(μ\) – относительная магнитная проницаемость среды, \(μ_{0}\)=4\(π\)∙10-7Гн/м= 12,5663706144∙10-7 Гн/м – магнитная постоянная.

Для ферромагнитных тел \(\mu=\varphi \left(H\right)\), а следовательно, и \(B=f \left(H\right)\). При решении задач, где требуется знать зависимость \(B=f \left(H\right)\), необходимо пользоваться соответствующими графиками.

По закону Био-Савара-Лапласа элемент контура \(dl\), по которому течет ток \(I\), создает в некоторой точке \(A\) пространства магнитное поле напряженностью

\[\vec{H}=\frac{I\;d\vec{l}\times \vec{r}}{4\pi r^{3}},\]

где: \(r\) – расстояние от точки \(A\) до элемента тока \(dl\), \(\vec{r}\) – радиус-вектор точки \(A\) от элемента тока \(dl\).

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока

\[H=\frac{I}{2R},\]

где: \(R\) – радиус кругового контура с током.

Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

\[H=\frac{I}{2\pi a};\]

здесь \(a\) – расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Напряженность магнитного поля на оси кругового тока

\[H=\frac{R^{2}I}{2\left(R^{2}+a^{2}\right)^{3/2}};\]

здесь \(R\) – радиус кругового контура с током, \(a\) – расстояние от точки, где ищется напряженность, до плоскости контура.

Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида

\[H=In,\]

где: \(n\) – число витков на единицу длины соленоида (тороида).

Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины

\[H=\frac{In}{2}\left(\cos \beta_{1}-\cos \beta_{2}\right),\]

где: \(β_{1}\) и \(β_{2}\) – углы между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.

Объемная плотность энергии магнитного поля

\[W_{0}=\frac{\vec{H}\cdot\vec{B}}{2}.\]

Магнитный поток (поток магнитной индукции) сквозь контур

\[\Phi=BS\cos \varphi,\]

где: \(S\) – площадь поперечного сечения контура, \(\varphi\) – угол между нормалью к плоскости контура и направлением магнитного поля.

Магнитный поток сквозь тороид

\[\Phi=\frac{\mu_{0}\mu INS}{l},\]

где: \(N\) – общее число витков тороида, \(l\) – его длина, \(S\) – площадь его поперечного сечения. Если тороид имеет воздушный зазор, то

\[\Phi=\frac{IN}{l_{1}/S\mu_{0}\mu_{1}-l_{2}/S\mu_{0}\mu_{2}},\]

где: \(l_{1}\) – длина железного сердечника, \(μ_{1}\) – его магнитная проницаемость, \(l_{2}\) – длина воздушного зазора, \(μ_{2}\) – магнитная проницаемость воздуха.

На элемент \(dl\) проводника с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера

\[dF=BI\;\sin \alpha \;dl,\]

где: \(α\) – угол между направлениями тока и магнитного поля.

На замкнутый контур с током, а также на магнитную стрелку в магнитном поле действует пара сил с вращающим моментом

\[\vec{M}=\vec{p}\times\vec{B},\]

где: \(\vec{p}\) – магнитный момент контура с током (или магнитной стрелки).

Магнитный момент контура с током

\[\vec{p}=\vec{I}\times\vec{n}\cdot S,\]

где: \(S\) – площадь контура, \(\vec{n}\) – вектор нормали к плоскости контура.

Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводника с токами \(I_{1}\) и \(I_{2}\) взаимодействуют между собой с силой

\[F=\mu_{0}\mu\frac{I_{1}I_{2}l}{2\pi d},\]

где: \(l\) – длина участка проводников, \(d\) – расстояние между ними.

Работа перемещения проводника с током в магнитном поле

\[dA=I\;d\Phi,\]

где: \(d\Phi\) – магнитный поток, пересеченный проводником при его движении.

Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью в магнитном поле, определяется формулой Лоренца

\[\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B},\]

где: \(q\) – заряд частицы.

При протекании тока \(I\) вдоль проводящей пластины, помещенной перпендикулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов

\[U=K\frac{IB}{a}=\frac{IB}{nea},\]

где: \(a\) – толщина пластины, \(B\) – индукция магнитного поля, \(K=1/ne\) – постоянная Холла, обратная концентрации \(n\) носителей тока и их заряду \(e\). Зная постоянную Холла \(K\) и удельную проводимость материала \(σ=1/ρ=neu\), можно найти подвижность носителей тока \(u\).

Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в контуре э.д.с. индукции при всяком изменении магнитного потока \(\Phi\) сквозь поверхность, охватываемую контуром. Э.д.с. индукции определяется уравнением

\[\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}.\]

Изменение магнитного потока может достигаться изменением тока в самом контуре (явление самоиндукции). При этом э.д.с. самоиндукции определяется формулой

\[\varepsilon=-L\frac{dI}{dt},\]

где: \(L\) – индуктивность контура.

Индуктивность соленоида

\[L=\mu_{0}\mu n^{2}lS,\]

где: \(l\) – длина соленоида, \(S\) – площадь его поперечного сечения, \(n\) – число витков на единицу его длины.

Вследствие явления самоиндукции при выключении э.д.с. ток в цепи спадает по закону

\[I=I_{0}\exp \left(-\frac{R}{L}t\right),\]

а при включении э.д.с. ток нарастает по закону

\[I=I_{0} \left[1-\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)\right],\]

где: \(R\) – сопротивление цепи.

Магнитная энергия контура с током

\[W=\frac{LI^{2}}{2}.\]

Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции). При этом индуцируемая э.д.с.

\[\varepsilon=-L_{12}\frac{dI}{dt},\]

где: \(L_{12}\) – взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность двух соленоидов, пронизываемых общим магнитным потоком,

\[L_{12}=\mu_{0}\mu n_{1} n_{2}Sl,\]

где: \(n_{1}\) и \(n_{2}\) – числа витков на единицу длины этих соленоидов.

Количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводника при возникновении в нем индукционного тока,

\[dq=-\frac{1}{R}d\Phi.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.