Гармоническое колебательное движение и волны

Формулы механических колебаний и волн: маятники, период, частота, амплитуда. Интерференция волн.

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид

\[x=A\sin \left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi\right)=A\sin \left(2\pi \nu t+\varphi\right) =A\sin \left(\omega t+\varphi\right),\]

где: \(x\) – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, \(A\) – амплитуда, \(T\) – период, \(\varphi\) – начальная фаза, \(ν=1/T\) – частота колебаний [Гц], и \(ω=2π/T\) – круговая частота [с-1].

Скорость и ускорение точки, совершающей колебания, определяются соотношениями

\[v=\frac{dx}{dt}=\frac{2\pi}{T}A\cos \left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi\right),\\ a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}d=-\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}A\sin \left(\frac{2\pi}{T}t+ \varphi\right).\]

Сила, под действием которой точка массой \(m\) совершает гармоническое колебание,

\[F=ma=-\frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}A\sin\left( \frac{2\pi}{T}t+\varphi\right)= -\frac{4\pi^{2}m} {T^{2}}x=-kx,\]

где: \(k=4\pi^{2}m/T^2,\) т.е. \(T=2\pi\sqrt{m/k}\). Здесь \(T\) – период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы \(F=-kx\), где: \(k\) – жесткость, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид

\[W_{k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{2\pi^{2}m}{T^{2}}A^{2}\cos^{2}\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi\right),\] \[W_{p}=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{2\pi^{2}m}{T^{2}}A^{2}\sin^{2}\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi\right).\]

Полная энергия

\[W=\frac{2\pi^{2}m}{T^{2}}A^{2}.\]

Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника. Период колебаний математического маятника

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]

где: \(l\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения.

Период малых колебаний физического маятника

\[T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mdg}},\]

где: \(J\) – момент инерции маятника относительно его оси вращения, \(m\) – масса маятника, \(d\) – расстояние от центра масс до оси вращения, \(g\) – ускорение свободного падения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

\[A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)}\]

и с начальной фазой, определяемой из уравнения

\[\tan \varphi=\frac{A_{1}\sin \varphi_{1}+A_{2}\sin \varphi_{2}}{A_{1}\cos \varphi_{1}+A_{2}\cos \varphi_{2}},\]

где: \(A_{1}\) и \(A_{2}\) – амплитуды слагаемых колебаний, \(\varphi_{1}\) и \(\varphi_{2}\) – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид

\[\frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{2xy}{A_{1}A_{2}}\cos\left(\varphi_{2}- \varphi_{1}\right)=\sin^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right).\]

Если на материальную точку массой \(m\), кроме упругой силы \(F=-kx\), действует еще сила трения \(F_{fr}=-rv\), где: \(r\) – коэффициент трения и \(v\) – скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид

\[x=Ae^{-\delta t}\sin\left(\omega t+\varphi\right),\]

где: \(δ\) – коэффициент затухания [с-1]. При этом \(\delta=r/2m\) и \(\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}\), где: \(ω_{0}\) – круговая частота собственных колебаний. Величина \(\varkappa=\delta T\) называется логарифмическим декрементом затухания.

Если на материальную точку массой \(m\), колебание которой дано в виде

\[x_{1}=Ae^{-\delta t}\sin\omega_{0} t,\]

действует внешняя периодическая сила \(F=F_{0}\sin\omega t\), то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид

\[x_{2}=A\sin\left(\omega t+\varphi\right),\]
где: \[A=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4\delta^{2}\omega^{2}}}, \qquad\tan \varphi=\frac{2\delta \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.\]

Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний \(ω\) связана с частотой собственных колебаний \(ω_{0}\) и с коэффициентом затухания \(δ\) соотношением

\[\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\delta^{2}}.\]

При распространении незатухающих колебаний со скоростью \(c\) вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии \(l\), дается уравнением

\[x=A\sin \left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi l}{\lambda}\right),\]

где: \(A\) – амплитуда колеблющихся точек, \(λ\) – длина волны. При этом \(\lambda=cT\). Две точки, лежащие на луче на расстояниях \(l_{1}\) и \(l_{2}\) от источника колебаний, имеют разность фаз

\[\varphi_{1}-\varphi_{2}=2\pi\frac{l_{2}-l_{1}}{\lambda}.\]

При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются со­ ответственно при условиях

\[l_{2}-l_{1}=2n\frac{\lambda}{2}\qquad \left(n=0,\quad 1, \quad 2, \quad...\right),\] \[l_{2}-l_{1}=\left(2n+1\right)\frac{\lambda}{2}\qquad \left(n=0,\quad 1, \quad 2, \quad...\right),\]

здесь \( l_{2}-l_{1}\) – разность хода лучей.

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.