Электростатика

Формулы электростатики: закон Кулона, напряженность, потенциал, емкость, параллельное и последовательное соединения конденсаторов.

По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы, по сравнению с расстоянием \(r\) между ними, определяется формулой

\[F=\frac{q_{1} q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon r^{2}},\]

где: \(q_{1}\) и \(q_{2}\) – электрические заряды тел, \(\varepsilon\) – относительная диэлектрическая проницаемость среды, \(\varepsilon_{0}=8,85418782 \cdot 10^{-12}\) Ф/м – электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля определяется формулой

\[\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\]

где: \(F\) – сила, действующая на заряд \(q\). Напряженность поля точечного заряда

\[E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon r^{2}}.\]

Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.

По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность

\[N_{E}=\frac{1}{\varepsilon_{0} \varepsilon} \sum\limits_i q_{i},\]

где: \(\sum q_{i}\) – алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Соответственно поток электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность

\[N_{D}=\sum q_{i}.\]

При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью,

\[E=\frac{\tau}{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon a},\]

где: \(\tau\) – линейная плотность заряда на нити, \(a\) – расстояние от нити. Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восставленном из середины нити на расстоянии \(a\) от нее,

\[E=\frac{\tau \sin \theta}{2\pi\varepsilon_{0} \varepsilon a},\]

где: \(θ\) – угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной плоскостью,

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0} \varepsilon},\]

где: \(σ\) – поверхностная плотность заряда на плоскости. Если плоскость представляет собой диск радиусом \(R\), то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восставленном из центра диска на расстоянии \(a\) от него,

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0} \varepsilon}\left(1-\frac{a}{\sqrt{R^{2}+a^{2}}}\right).\]

Напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поля плоского конденсатора),

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0} \varepsilon}.\]

Напряженность поля, образованного заряженным шаром,

\[E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon r^{2}},\]

где: \(q\) – заряд шара радиусом \(R\) и \(r\) – расстояние от центра шара, причем \(r > R\).

Электрическое смещение \(D\) определяется соотношением

\[D=\varepsilon_{0} \varepsilon E=\sigma.\]

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу положительного заряда перенести из одной точки в другую:

\[U=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{A}{q}.\]

Потенциал поля точечного заряда

\[\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon r},\]

где: \(r\) – расстояние от заряда.

Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением

\[E=-\frac{d\varphi}{dr}.\]

В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность

\[E=\frac{U}{d},\]

где: \(U\) – разность потенциалов между пластинами конденсатора, \(d\) – расстояние между ними.

Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением

\[q=C\varphi,\]

где: \(C\) – емкость уединенного проводника.

Емкость плоского конденсатора

\[C=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon S}{d},\]

где: \(S\) – площадь каждой пластины конденсатора.

Емкость сферического конденсатора

\[C=\frac{4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon rR}{R-r},\]

где: \(r\) и \(R\) – радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда \(R=\infty\), \(C=4\pi\varepsilon_{0} \varepsilon r\) – емкость уединенного шара.

Емкость цилиндрического конденсатора

\[C=\frac{2\pi\varepsilon_{0} \varepsilon L}{\ln \left(R/r\right)},\]

где: \(L\) – высота коаксиальных цилиндров, \(r\) и \(R\) – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.

Емкость системы конденсаторов:

Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной из следующих формул:

\[W=\frac{qU}{2}, \qquad W=\frac{CU^{2}}{2}, \qquad W=\frac{q^{2}}{2C}.\]

В случае плоского конденсатора энергия

\[W=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon SU^{2}}{2d}=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon E^{2}Sd}{2}= \frac{\sigma^{2}Sd}{2\varepsilon_{0} \varepsilon },\]

где: \(S\) – площадь каждой пластины конденсатора, \(σ\) – поверхностная плотность заряда на пластинах, \(U\) – разность потенциалов между пластинами, \(d\) – расстояние между ними. Величина

\[W_{0}=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon E^{2}}{2}=\frac{ED}{2}\]

называется объемной плотностью энергии электрического поля.

Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора

\[F=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon E^{2}S}{2}=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon SU^{2}}{2d^{2}}= \frac{\sigma^{2}S}{2\varepsilon_{0} \varepsilon }.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.