Твердые тела

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Элементы кристаллографии, Объем и число элементарных ячеек. Тепловые свойства твердых тел, полупроводники.

Изменение температуры плавления \(dT\) при изменении давления на \(dp\) дается уравнением Клаузиуса-Клапейрона

\[dT=T\frac{V_{0l}-V_{0s}}{q_{0}}dp,\]

где: \(q_{0}\) – молярная теплота плавления, \(V_{0l}\) – молярный объем жидкости, \(V_{0s}\) – молярный объем твердого тела, \(T\) – термодинамическая температура плавления.

При не очень низких температурах для твердых тел имеет место закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел равна приблизительно \(3R\)=25 Дж/(моль∙К).

Количество теплоты \(Q\), переносимое вследствие теплопроводности за время \(Δτ\), определяется формулой

\[Q=\lambda \frac{\Delta T}{\Delta x}\Delta S \Delta \tau,\]

где: \(\Delta T/ \Delta x\) – изменение температуры в направлении \(x\), перпендикулярном к площадке \(ΔS\), \(λ\) – теплопроводность.

При повышении температуры длина твердых тел возрастает в первом приближении линейно с температурой

\[l=l_{0}\left(1+at\right),\]

где: \(l\) – длина тела при температуре \(t\), \(l_{0}\) – его длина при температуре \(t_{0}\)=0 °C, \(a\) – температурный коэффициент линейного расширения. Для твердых изотропных тел \(a=b/3\), где: \(b\) – температурный коэффициент объемного расширения.

В случае деформации продольного растяжения (сжатия) стержня относительное изменение длины стержня по закону Гука

\[\frac{\Delta l}{l}=\alpha p_{n}=\frac{1}{E}p_{n},\]

где: \(p_{n}\) – нормальное напряжение, т. е. \(p_{n}=F/S\), где: \(F\) – растягивающая (сжимающая) сила, \(S\) – площадь поперечного сечения. Величина \(E=1/α\) [Па] называется модулем Юнга.

Относительное изменение диаметра стержня при продольном растяжении (сжатии)

\[\frac{\Delta d}{d}=\beta p_{n}.\]

Величина \(\sigma=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\Delta d/d}{\Delta l/l}\) называется коэффициентом Пуассона.

Для закручивания стержня (проволоки) на некоторый угол \(\varphi\) необходимо приложить момент пары сил (закручивающий момент)

\[M=\frac{\pi Nr^{4}}{2l}\varphi,\]

где: \(l\) – длина проволоки, \(r\) – ее радиус, \(N\) [Па] – модуль сдвига материала проволоки.

Элементы кристаллографии

Объем \(V_{0}\) одного килограмм-моля кристалла

\[V_{0}=\frac{\mu}{\rho},\]

где: \(μ\) – киломоль, \(ρ\) – плотность кристалла.

Объем \(V\) элементарной ячейки кристалла:

где: \(a\) и \(c\) – параметры ячейки.

Число \(Z_{0}\) элементарных ячеек в одном килограмм-моле кристалла

\[Z_{0}=\frac{V_{0}}{V}\]

или

\[Z_{0}=\frac{kN_{A}}{n},\]

где: \(k\) – число одинаковых атомов в химической формуле соединения, \(N_{A}\) – число Авогадро, \(n\) – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

Число \(Z\) элементарных ячеек в единице объема кристалла

\[Z=\frac{Z_{0}}{V_{0}},\]

где: \(A\) – килограмм-атом.

Параметр кубической решетки

\[a=\sqrt[3]{\frac{n\mu}{k\rho N_{A}}}.\]

Расстояние \(d\) между соседними атомами в кубической решетке:

Тепловые свойства твердых тел

Энергия одного килограмм-атома химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой

\[E=3RT,\]

где: \(R\) – универсальная газовая постоянная, \(T\) – абсолютная температура.

Теплоемкость одного килограмм-атома химически простых твердых тел определяется по закону Дюлонга и Пти

\[C_{\mu}=3R.\]

Для химически сложных тел (состоящих из различных атомов) теплоемкость одного киломоля определяется законом Неймана-Коппа

\[C_{\mu}=n3R,\]

где: \(n\) – общее число частиц в химической формуле соединения.

Среднее значение \(\left\langle \varepsilon \right\rangle\) энергии квантового осциллятора, приходящегося на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой

\[\left\langle \varepsilon\right\rangle=\varepsilon_{0}+\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},\]

где: \(ε_{0}\) – нулевая энергия \(\left(\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}h\nu\right)\), \(h\) – постоянная Планка, \(ν\) – частота колебаний осциллятора, \(k\) – постоянная Больцмана, \(T\) – абсолютная температура.

Энергия одного килограмм-атома кристалла в квантовой теории теплоемкости определяется как

\[E=E_{0}+3R\frac{\theta_{E}}{e^{\frac{\theta_{E}}{kT}}-1},\]

где: \(E_{0}=\frac{3}{2}R\theta_{E}\) – нулевая энергия килограмм-атома, \( \theta_{E}=\frac{h\nu}{k}\) – характеристическая температура.

Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла в квантовом состоянии

\[C_{\mu}=3R\left(\frac{\theta_{E}}{T}\right)^{2}\frac{e^{\theta_{E}/T}} {\left(e^{\theta_{E}/T}-1\right)^{2}}.\]

Частотный спектр колебаний в теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот \(g(ν)\). Число \(dZ\) собственных частот твердого тела, приходящихся на интервал частот от \(ν\) до \(ν+dν\)

\[dZ=g\left(\nu\right)d\nu.\]

Для трехмерного кристалла, содержащего \(N\) атомов

\[dZ=\frac{9N}{\nu_{max}^{2}}\nu^{2}d\nu,\]

где: \(ν_{max}\) – максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

Энергия твердого тела

\[E=\int\limits_0^{\nu_{max}}\left\langle\varepsilon \right\rangle g\left(\nu\right)\;d\nu.\]

Энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю

\[E=E_{0}+3RT\cdot 3\left(\frac{T}{\theta_{D}}\right)^{3}\int\limits_0^{\theta_{D}/T} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}\;dx,\]

где: \(E_{0}=\frac{9}{8}R\theta_{D}\) – нулевая энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю, \(\theta_{D}=\frac{h\nu_{max}}{k}\) – характеристическая температура Дебая.

Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла по Дебаю

\[C_{\mu}=3R\left[12\left(\frac{T}{\theta_{D}}\right)^{3}\int\limits_0^{\theta_{D}/T} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}\;dx-\frac{3\frac{\theta_{D}}{T}}{e^{\theta_{D}/T}-1}\right].\]

Энергия фонона связана с частотой \(ν\) колебаний

\[\varepsilon=h\nu.\]

Квазиимпульс фонона

\[p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k,\]

где: \(\lambda\) – длина волны, \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) – волновое число.

Скорость фонона (групповая)

\[u=\frac{d\varepsilon}{dp}=\frac{d\nu}{dk}.\]

Фазовая скорость фонона: \(u_{f}=\frac{\nu}{k}.\)

Скорости волн в кристалле:

где: \(E\) – модуль продольной упругости, \(G\) – модуль продольной упругости, \(\rho\) – плотность твердого тела.

Усредненное значение скорости звука определяется формулой

\[\frac{3}{v^{3}}=\frac{2}{v_{t}^{3}}+\frac{1}{v_{l}^{3}}.\]

Теплота, перенесенная через поверхность площадью \(S\), перпендикулярную направлению теплового потока за время \(dt\), определяется законом Фурье

\[dQ=-\varkappa \frac{dT}{dx}S\;dt,\]

где: \(\varkappa\) – коэффициент теплопроводности, \(\frac{dT}{dx}\) – проекция градиента температуры.

Коэффициент теплопроводности \(\varkappa\) связан с удельной теплоемкостью (на единицу объема) \(\tilde{c}\), скоростью звука \(v\) и средней длиной свободного пробега фононов \(λ\)

\[\varkappa=\frac{1}{3}\tilde{c}\lambda\cdot v.\]

Линейный коэффициент теплового расширения по определению

\[\alpha=\frac{1}{l}\frac{dl}{dT}.\]

Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии с катода дается формулой Ричардсона-Дэшмана

\[j_{s}=BT^{2}\exp \left\{-A/\left(kT\right)\right\},\]

где: \(B=120\left(1-R\right)\) [A/(см2∙К2)], \(R\) – коэффициент отражения электронов проводимости от потенциального барьера на поверхности эмиттера, \(A\) – работа выхода электронов с поверхности катода.

Полупроводники

Удельная проводимость \(σ\) собственных проводников

\[\sigma=n\cdot e\left(u_{n}+u_{p}\right),\]

где: \(e\) – заряд электрона, \(n\) – концентрация носителей тока, \(u_{n}\) и \(u_{p}\) – подвижность электронов и дырок.

Напряжение \(U_{X}\) на гранях образца при эффекте Холла

\[U_{X}=R_{X}Bbj,\]

где: \(R_{X}\) – постоянная Холла, \(B\) – индукция магнитного поля, \(b\) – ширина пластины, \(j\) – плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, кремний, германий и др., обладающих носителями тока одного вида

\[R_{X}=\frac{3\pi}{8}\frac{1}{n\cdot e}.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.