Молекулярно-кинетическая теория

Формулы МКТ и термодинамики: уравнения Менделеева-Клапейрона и Пуассона, внутренняя энергия, закон Максвелла-Больцмана, скорость молекул.

Уравнение состояния идеального газа

\[pV=\frac{m}{\mu}RT,\]

где: \(p\) – давление газа, \(V\) – его объем, \(Т\) – термодинамическая температура, \(m\) – масса газа, \(μ\) – молярная масса газа, R = 8,31441 Дж/моль∙К – газовая постоянная.

Закон Дальтона для давления смеси газов

\[p=\sum\limits_{i=1}^n p_{i},\]

где: \(p_{i}\) – парциальное давление, т. е. давление, которое имел бы каждый из газов отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид

\[p=\frac{2}{3}n\overline{W}=\frac{2}{3}n \frac{m_{0}\overline{v^{2}}}{2},\]

где: \(n\) – концентрация молекул, \(\overline{W}\) – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы с массой \(m_{0}\), \( \sqrt{\overline{v^{2}}}\) – средняя квадратичная скорость молекул.

Число молекул в единице объема (концентрации)

\[n=\frac{p}{kT},\]

где: \(k\)=1,380662∙10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

\[\overline{W}=\frac{3}{2}kT.\]

Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа

\[W=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RT,\]

где: \(i\) – число степеней свободы молекул.

Теплоемкость тела определяется как

\[C=\frac{dQ}{dT},\]

где: \(Q\) – количество тепла, сообщенное телу и повышающее его температуру на 1 K.

Молярная теплоемкость, т. е. теплоемкость одного моля вещества

\[C_{\nu}=\frac{1}{\nu}\frac{dQ}{dT}.\]

Удельная теплоемкость

\[c=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}.\]

Связь между молярной и удельной теплоемкостями

\[c=\frac{C_{\nu}}{\mu}.\]

Теплоемкость при постоянном объеме

\[C_{V}=\left(\frac{dU}{dT}\right)_{V},\]

где: \(U\) – внутренняя энергия тела.

Теплоемкость при постоянном давлении

\[C_{p}=\left(\frac{dQ}{dT}\right)_{p}.\]

Внутренняя энергия идеального газа

\[U= \frac{m}{\mu}C_{V}T.\]

Функция распределения Максвелла молекул по скоростям

\[f\left(v\right)= \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \exp\left( -\frac{mv^{2}}{2kT}\right).\]

Функция распределения Максвелла молекул по проекции скорости

\[\varphi\left(v_{x}\right)= \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2} \exp\left( -\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right).\]

Вероятность того, что компоненты скорости лежат в пределах от \( v_{x},\; v_{y},\; v_{z}\) до \( v_{x}+dv_{x},\; v_{y}+dv_{y},\; v_{z}+dv_{z},\) есть

\[dP=f\left(v\right)\;dv_{x}\;dv_{y}\;dv_{z}.\]

Число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от \(v\) до \(v+dv\),

\[dN_{v}=Nf\left(v\right) 4\pi v^{2}\;dv,\]

\(N\) – полное число молекул газа.

Функция распределения Максвелла по модулю скорости

\[F\left(v\right)=f\left(v\right) 4\pi v^{2}=\\=\left(\frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} \exp \left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)4\pi v^{2}.\]

Распределение Больцмана молекул во внешнем потенциальном поле

\[n=n_{0} \exp \left(-\frac{W_{p}}{kT} \right),\]

\(n\) – концентрация молекул, обладающих потенциальной энергией \(W_{p}\), \(n_{0}\) – концентрация молекул с нулевой потенциальной энергией.

Количество молекул, попадающих в пределы объема \(dv=dx\;dy\;dz\), расположенного в точке с координатами \(x,\;y,\;z,\) равно

\[dN=n_{0} \exp \left(-\frac{W_{p}\left( x,\;y,\;z \right)}{kT} \right) dx\;dy\;dz.\]

Закон Максвелла-Больцмана

\[dN=n_{0}\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp \left(-\frac{W_{p}+\frac{mv^{2}}{2}}{kT} \right)\;dv_{x}\;dv_{y}\;dv_{z}\;dx\;dy\;dz.\]

Наиболее вероятная скорость молекул

\[v_{p}=\sqrt{\frac{2RT}{\mu}}.\]

Средняя скорость молекул (арифметическая)

\[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}.\]

Средняя квадратичная скорость молекул

\[\sqrt{\bar{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_{0}}}.\]

При решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно пользоваться таблицей, в которой даны значения \(\Delta N/\left(N\Delta u\right)\) для различных \(u\).

\(u\)	\(\Delta N/\left(N\Delta u\right)\)	\(u\)	\(\Delta N/\left(N\Delta u\right)\)	\(u\)	\(\Delta N/\left(N\Delta u\right)\)
0	0	0,9	0,81	1,8	0,29
0,1	0,02	1,0	0,83	1,9	0,22
0,2	0,09	1,1	0,82	2,0	0,16
0,3	0,18	1,2	0,78	2,1	0,12
0,4	0,31	1,3	0,71	2,2	0,09
0,5	0,44	1,4	0,63	2,3	0,06
0,6	0,57	1,5	0,54	2,4	0,04
0,7	0,68	1,6	0,46	2,5	0,03
0,8	0,76	1,7	0,36

Во многих случаях важно знать число молекул \(N_{x}\), скорости которых превышают заданное значение скорости \(u\). В таблице даны значения \(N_{x}/N\) для различных \(u\), где: \(N\) – общее число молекул.

\(u\)	\(N_{x}/N\)	\(u\)	\(N_{x}/N\)	\(u\)	\(N_{x}/N\)
0	1,000	0,6	0,868	1,25	0,374
0,2	0,994	0,7	0,806	1,5	0,213
0,4	0,957	0,8	0,734	2,0	0,046
0,5	0,918	1,0	0,572	2,5	0,0057

Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести

\[p=p_{0}\exp \left(-\frac{\mu g h}{RT}\right),\]

здесь \(p\) – давление газа на высоте \(h\), \(p_{0}\) – давление на высоте \(h=0\), \(g\)=9,80665 м/с² – ускорение свободного падения. Эта формула приближенная, так как температуру \(T\) нельзя считать одинаковой для больших разностей высот.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

\[\bar{\lambda}=\frac{\bar{v}}{\bar{z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\sigma^{2}n},\]

где: \(\bar{v}\) – средняя арифметическая скорость, \(\bar{z}\) – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, \(\sigma\) – эффективный диаметр молекулы, \(n\) – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

\[Z=\frac{\bar{z}n}{2}.\]

Масса, перенесенная за время \(\Delta t\) при диффузии,

\[m=-D \frac{\Delta \rho}{\Delta x}\Delta S\Delta t,\]

где: \(\frac{\Delta \rho}{\Delta x}\) – относительное изменение плотности в направлении \(x\), перпендикулярном к площадке \(\Delta S\), \(D=\frac{\bar{v}\bar{\lambda}}{3}\) – коэффициент диффузии (\(\bar{v}\) – средняя арифметическая скорость, \(\bar{\lambda}\) – средняя длина вободного пробега молекул).

Импульс, перенесенный газом за время \(\Delta t\), определяет силу внутреннего трения \(F_{fr}\) в газе

\[F_{fr}=-\eta \frac{\Delta v}{\Delta x}\Delta S,\]

где: \(\frac{\Delta v}{\Delta x}\) – относительное изменение скорости течения газа в направлении \(x\), перпендикулярном к площадке \(\Delta S\), \(\eta=\frac{\bar{v}\bar {\lambda}\rho}{3}\) – динамическая вязкость.

Количество теплоты, перенесенное за время \(\Delta t\) вследствие теплопроводности, определяется формулой

\[Q=-K \frac{\Delta T}{\Delta x}\Delta S \Delta t,\]

где: \(\frac{\Delta T}{\Delta x}\) – относительное изменение температуры в направлении \(x\), перпендикулярном к площадке \(\Delta S\), \(K=\frac{\bar{v}\bar{\lambda}c_{V}\rho}{3}\) – теплопроводность.

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

\[\delta Q=dU+\delta A,\]

где: \(\delta Q\) – количество теплоты, полученное газом, \(dU\) – изменение внутренней энергии газа, \(\delta A=p\;dV\) – элементарная работа, совершаемая газом при изменении его объема.

Изменение внутренней энергии газа при изменении температуры

\[dU=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RdT.\]

Полная работа, совершаемая при изменении объема газа,

\[A=\int\limits_{V_{1}}^{V_{2}} p\;dV.\]

Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,

\[A_{iso}=RT\frac{m}{\mu}\ln \frac{V_{2}}{V_{1}}.\]

Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравнением Пуассона

\[pV^{\varkappa}=const,\] т.е. \[\frac{p_{1}}{p_{2}}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\varkappa},\] где: показатель адиабаты \(\varkappa=\frac{c_{p}}{c_{V}}\).

Уравнение Пуассона может быть записано еще в таком виде

\[TV^{\varkappa-1}=const,\] т.е. \[\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\varkappa-1}\] или \[Tp^{\left(1-\varkappa\right)/\varkappa}=const,\] т.е. \[\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{\left(\varkappa-1\right)/\varkappa}= \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\left(1-\varkappa\right)/\varkappa}.\]

Работа, совершаемая при адиабатическом изменении объема газа, может быть найдена по формуле

\[\\A_{ad}=\frac{RT_{1}}{\varkappa-1}\frac{m}{\mu} \left[1-\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^ {\varkappa-1}\right]=\frac{RT_{1}}{\varkappa-1}\frac{m}{\mu} \left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)= \frac{p_{1}V_{1}\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(\varkappa-1\right)T_{1}},\]

где: \(p_{1}\) и \(V_{1}\) – давление и объем газа при температуре \(T_{1}\).

Уравнение политропического процесса имеет вид

\[pV^{n}=const,\] или \[p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n},\]

где: \(n\) – показатель политропы (\(1 < n < \infty\)).

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины

\[\eta=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}},\]

где: \(Q_{1}\) – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, \(Q_{2}\) – количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно

\[\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}},\]

где: \(T_{1}\) и \(T_{2}\) – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий \(S_{B}-S_{A}\) двух состояний \(B\) и \(A\) определяется формулой

\[ S_{B}-S_{A}=\int \limits_A^B\frac{dQ}{T}.\]

Если у вас возникли вопросы, пишите - поможем, чем сможем 🙂.